Часто возникают задачи, требующие вычислить сумму всех или некоторых элементов массива, например, сумму элементов, стоящих в массиве на заданных местах, или сумму элементов, удовлетворяющих некоторому условию (сумму только положительных элементов, сумму ненулевых элементов второй половины массива и т.д.).
Пусть а[] – заданный массив из n элементов. Сумма всех его элементов в математической форме выглядит следующим образом:
(2.1)
Для вычисления суммы элементов части массива, например, с in– го до ik –го. Следует использовать формулу:
(2.2)
Очевидно, что формула (2.2) получается из формулы (2.1) при in=0 и ik = n –1.
Алгоритм вычисления суммы состоит в следующем:
1. установить значение переменой для накопления суммы (s) в нулевое значение (s=0);
2. в цикле изменяя i от in до ik вычислить суммуэлементов массива по выражениию s=s+ai.
При первой итерации цикла (i=in) получим s=s+ain= 0+ ain. На второй (i=in+1) – s=s+ain+1= ain + ain+1 и т. д. На последней итерации цикла будем иметь s=s+aik= ain + ain+1+…+ aik. Т.е. в цикле по параметру i "старое" значение s, содержащее накопленную сумму на предыдущей итерации, изменяется на значение ai. На рисунке 2.5 представлен алгоритм и фрагменты программ вычисления суммы элементов массива.
| */вычисление суммы элементов массива с in по ik s=0; for(i=in;i<ik;i++) s=s+a[i]; // или s+=a[i]; или s+=*(a+i); */вычисление суммы всех элементов массива s=0; for(i=0;i<n;i++) s+=a[i]; |
Рисунок 2.5 Графическая схема и фрагмент программы
вычисления суммы элементов массива
Если в алгоритме (рисунок 2.5) в блоке 2 записать i=0, а блоке 3 – (i<n), то получим алгоритм вычисления суммы всех элементов массива.
Рассмотренный алгоритм вычисления суммы, можно применить для вычисления суммы элементов, стоящих в массиве на заданных местах (рисунок 2.6). В этом случаи шаг изменения параметра цикла определяется переменной step.
| /* с помощью цикла for */ s=0; for(i=in;i<ik;i=i+step) s+=a[i]; // или s=s+a[i]; /* с помощью цикла while */ s=0; i=in; while (i<ik) { s+=a[i]; i=i+step; } |
Рисунок 2.6 Графическая схема и фрагмент программы вычисления суммы элементов массива стоящих на заданных местах
Например, чтобы вычислить сумму элементов, стоящих в массиве на четных местах, необходимо "заставить" i принимать значения 1, 3, 5, … (поскольку нумерация элементов массива в С начинается с нуля т.е. элемент массива с индексом a[0] – первый элемент массива). Для этого достаточно в блоке 2 записать i=1, в блоке 3 – (i<n), а в блоке 5 записать i=i+2 (step=2). В программе на языке С соответствующий фрагмент будет выглядеть следующим образом:
s=0;
for(i=1;i<n;i=i+2) // или for(i=1;i<n;i+=2)
s+=a[i]; // или s=s+a[i];
Для вычисления суммы только тех элементов, которые удовлетворяют некоторому условию, необходимо в алгоритме вычисления суммы (рисунок 2.6) блок 4 заменить на ветвление, которое обеспечивает выполнение команды s=s+ai только тогда, когда условие выполнено для рассматриваемого элемента массива ai. В этом случаи алгоритм вычисления суммы примет следующий вид (рисунок 2.7).
| /* с помощью цикла for */ s=0; for(i=in;i<ik;i+=step) if(условие) s+=a[i]; // или s=s+a[i]; /* с помощью цикла while */ s=0; i=in; while (i<ik) { if(условие) s+=a[i]; i=i+step; } |
Рисунок 2.7 Графическая схема и фрагмент программы вычисления суммы элементов массива стоящих на заданных местах
Применим полученный алгоритм для вычисления суммы положительных элементов массива стоящих на нечетных местах. Для этого в блоке 2 запишем i=0, в блоке 3 (i<n), в 4 условие – (a[i]>0), а в блоке 6 изменение параметра цикла (step=2) i=i+2. Тогда соответствующий фрагмент программы можно записать в виде:
s=0;
for(i=0;i<n;i+=2)
if(a[i]>0) s+=a[i]; // или s=s+a[i];
Рассмотрим примеры использования рассмотренных алгоритмов.
Пример 2.3.
В одномерном массиве a размерностью n, вычислить сумму элементов массива, меньших заданного значения В и стоящих на местах, кратных трем.
Решение.
Объединим алгоритмы ввода – вывода массива (рисунок 2.2) и вычисления суммы (рисунок 2.7). Для сокращения записи графической схемы алгоритма ввода и вывода массива, здесь и в дальнейшем используем простые блоки вида:
В алгоритме для вычисления искомой суммы рассматриваются только те элементы, которые в массиве стоят на местах, кратных трем, при этом необходимо учитывать что нумерация элементов массива в С начинается с нуля т.е. элемент массива с индексом a[0] это первый элемент массива. Таким образом, элементы стоящие на местах кратных трем – а2, а5, а8, …, индекс элемента массива (он же – параметр цикла) должен последовательно принимать значения 2, 5, 8, …, т.е. изменяться от 2 с шагом 3, что и достигается изменениями в блоках 2 и 6 алгоритма вычисления суммы (рисунок 2.7). Так в блоке 2 запишем i=2, в блоке 3 (i<n), а в блоке 6 – (step=3) i=i+3. Для суммирования из рассмотренных элементов только тех, которые меньше заданного В, используется ветвление с условием аi<В (блок 4). Окончательный алгоритм вычисления суммы заданных элементов примет, следующий вид (рисунок 2.8). В задаче будем использовать динамический способ задания массива. В данном примере для обращения к элементам массива используются указатели. Как уже отмечалось в разделе 1.1, имя массива является указателем на его первый элемент.
Используемые переменные:
n – число элементов массива;
a[] – динамический массив;
s – сумма элементов массива;
B – заданное число;
i – параметр цикла;
| #include <stdio.h> main() { int n,i; float s, B; puts("Введите число элементов массива a"); scanf("%d",&n); float *a=new float[n]; for (i=0;i<n;i++) { printf("Введите число a[%2d]=",i); scanf("%f",a+i); } puts("Введите B"); scanf("%f",&B); s=0; for(i=2;i<n;i+=3) if(*(a+i)<B) s+=*(a+i); puts("Массив a"); for(i=0;i<n;i++) printf("%.1f ",*(a+i)); printf("\n"); printf("Сумма чисел, меньших %.1f, стоящих на местах, кратных 3, равна %.2f\n",B,s); delete[] a; // освобождение памяти return(0); } |
Рисунок 2.8 Графическая схема и программа примера 2.3