В конце XVII и в XVIII веке все возрастающие запросы практики и других наук побуждали ученых максимально расширять область и методы исследований математики. Понятия бесконечности, движения и функциональной зависимости выдвигаются на первое место, становятся основой новых методов математики.
В XIX веке начинается новый период в развитии математики – современный. Накопленный в XVII и XVIII вв. огромный материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием приобретает теперь более сложные формы. Новые теории возникают не только в результате запросов естествознания или техники, а также из внутренних потребностей самой математики.
Теория групп ведет свое начало с рассмотрения Лагранжем групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраических уравнений высших степеней. Именно на этой почве были получены результаты Руффини и Абелем, завершившиеся несколько позднее тем, что французский математик Э.Галуа при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраических уравнений любой степени. В середине XIX в. английский математик А.Кэлли дал общее «абстрактное» определение группы. Норвежский математик С.Ли разработал теорию непрерывных групп.
Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория потенциала. В этом направлении работают большинство крупных аналитиков начала и середины XIX века: К.Гаусс, Ж.Фурье, С.Пуассон, О.Коши, П.Дирихле, М.В.Остроградский.
Дифференциальная геометрия поверхностей создается Гауссом и Петерсоном. Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение имело создание Лобачевским неэвклидовой геометрии. Построив неэвклидову тригонометрию и аналитическую геометрию, он дал все необходимое для установления совместности и полноты системы аксиом этой новой геометрии. Развивалось долгое время и проективная геометрия, связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Грассман создает аффинную метрическую геометрию n-мерного пространства.
Уже в гауссовой внутренней геометрии поверхностей дифференциальная геометрия освобождается от неразрывной связи с геометрией Евклида.
Ф.Клейн подчиняет все разнообразие построенных к этому времени «геометрий» пространств различного числа измерений идее изучения инвариантов той или иной группы преобразований. В 1879-1884 г.г. публикуются работы Кантора по общей теории бесконечных множеств. Только после этого могли быть сформулированы современные общие представления о предмете математики, строении математических теорий.
Во второй половине XIX в. начинается интенсивная разработка вопросов истории математики. Чрезвычайное развитие получают в конце XIX в. и в XX в. все разделы математики, начиная с самого старого из них – теории чисел. Немецкие и русский математик Е.И.Золотарев закладывают основы современной алгебраической теории чисел. В 1873 г. Ш.Эрмит доказывает трансцендентность числа ℮, а в 1882 г. Ф. Линдеман – числа π. В России по теории чисел блестяще развивают А.Н. Коркин, Г.Ф. Вороной, И.М. Виноградов и А.А. Марков. Продолжают развиваться классические отделы алгебры. Подробно исследуются возможности сведения решений уравнений высших степеней к решению уравнений возможно более простого вида. Основными отделами, привлекающими значительные научные силы, становятся дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трехмерного пространства получает полное систематическое развитие в работах итальянского математика Е.Бельтрами, французского математика Г.Дарбу. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрических исследований создано работами математиков Т.Леви-Чевита, Э.Картана, Г.Вейля. Французкие математики глубоко разрабатывают теорию целых функций. Геометрическую теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А.Пуанкаре, Д.Гильберт, Г.Вейль, теорию конформных отображений – русские математики И.И.Привалов, М.А.Лаврентьев, Г.М.Голузин. В результате систематического построения математического анализа на основе строгой арифметической теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль математики – теория функций действительного переменного.
Наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений. Все эти исследования получили широкое развитие в России. Качественная теория дифференциальных уравнений послужила для Пуанкаре отправным пунктом для продолжения лишь едва намеченных Риманом исследований по топологии многообразий.
Теория дифференциальных уравнений с частными производными еще в конце XIX в. получает существенно новый вид.
Аналитическая теория отступает несколько на задний план, т.к. обнаруживается, что при решении краевых задач она не гарантирует «корректности».
Значительным дополнением к методам теории дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технических задач являются методы теории вероятностей.
В конце XIX в. и в XX в. большое внимание уделяется методам численного интегрирования дифференциальных уравнений.
Таким образом, разработанные в первой половине XIX века способы обоснования и методы математики позволили математикам перестроить математический анализ, алгебру, учение о числе и отчасти геометрию в соответствии с требованиями новой методологии. Новая методология математики способствовала преодолению кризиса её основ и создала для неё широкие перспективы дальнейшего развития.
Дальнейшее развитие математики, вплоть до конца 19-го – начала 20-го веков имело в основном прагматический характер, когда математика применялась как эффективное средство для решения физических, астрономических и других прикладных задач. В то же время никогда не снимался вопрос о «законных» средствах построения математических понятий и доказательств. Ввиду отсутствия самого понятия математической логики, главным инструментом доказательств являлась интуиция. Интуиционизм, как определённое направление в математике, возник в начале 20-го века, в основном благодаря трудам Л.Брауэра и А.Гейтинга. В его основе лежит номиналистическая тенденция ограничить математику только такими понятиями, которым можно придать «реальный смысл».
К числу основных достижений 20-го века в области оснований математики следует отнести:
. Выработку понятия формального языка и формальной системы (исчисления) и порождаемой ею теории.
. Создание математической логики в виде непротиворечивой семантически полной формальной системы.
. Создание аксиоматизированных формальных теорий арифметики, теории множеств, алгебраических систем и других важных разделов математики.
. Формальное уточнение понятий алгоритма и вычислимой функции.
. Арифметизация и погружение в формальную теорию таких важных понятий метаматематики, как доказуемость, непротиворечивость и др., что позволило решать многие метаматематические проблемы математическими средствами.
Перечисленные достижения потребовали осознания и уточнения многих важных математических и метаматематических понятий таких, как язык, синтаксис и семантика математических теорий и др. Всё это позволило взглянуть на проблему оснований математики с новых позиций по сравнению с предшествующими временами.
Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов математики и к появлению целого ряда новых математических дисциплин (например, теория алгоритмов, https://www.referatu.ru/1/30/216.htm теория информации, теория игр, исследование операций, кибернетика).
На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, графов теории, теории кодирования возникла дискретная, или конечная математика.
Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физическими или механическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математической теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.
Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях математики в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.
Заключение
Математическое моделирование, универсальность математических методов обуславливают огромную роль математики в самых различных областях человеческой деятельности.
Основой любой профессиональной деятельности являются умения:
- строить и использовать математические модели для описания, прогнозирования и исследования различных явлений;
- осуществить системный, качественный и количественный анализ;
- владеть компьютерными методами сбора, хранения и обработки информации;
- владеть методами решения оптимизационных задач.
Широкое применение находят математические методы в естествознании и сугубо гуманитарных науках: психологии, педагогике.
Можно сказать, что в недалеком будущем любая часть человеческой деятельности будет еще более широко использовать в своих исследованиях математические методы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаптев Б.Л.. Н.И.Лобачевский и его геометрия. М.: Просвещение, 1976.
2. Рыбников К.А.. История математики. М.: Наука, 1994.
3. Самарский А.А.. Математическое моделирование. М.: Наука, 1986.
4. Столл Р.Р.. Множество, Логика, Аксиоматическая теория. М.: Просвещение, 1968.
5. Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990.
6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П.. Рассказы о прикладной математике. М.: Вита-Пресс, 1996.
7. Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. М.: Наука, 1996.