Проверка прочности бруса.

Кафедра машиностроения

 

 

Расчётно-графическая работа

 

 

По дисциплине МЕХАНИКА

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

 

 

Тема: Решение задач

 

Вариант 12

 

Выполнил студент группы: РМ-17 Конченко А.И.

 

Проверил: доцент _____________________________ / Злотников Е.Г. /

 

Санкт-Петербург

2019 год

Задание: Ступенчатый брус (рис.1) нагружен силами P1, P2, P3 направленными вдоль его оси. Заданы длины участков a, b, c и площади их поперечных сечений F1 и F2. Модуль упругости материала E = 2*105 Мпа, предел текучести σт = 240 Мпа и запас прочности по отношению к пределу текучести nт = 1,5.

Дано:

E = 2*10⁵ МПа, σ_т = 240 Мпа,

n_т = 1,5, P₁= 45 кН, P₂ = 80 кН,

P₃ = 120 кН, a = 0,3 м, b = 0,5 м,

c = 0,5 м, F₁ = 4 см², F₂ = 12 см²

 

 

Рис.1. Расчетная схема

Задача:

1) построить эпюры продольных сил N, напряжений σ и продольных перемещений D;

2) проверить, выполняется ли условие прочности.

Решение:

Рисунок 2. Расчетная схема бруса и эпюры

Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А.

Участок АВ, сечение 1-1. Слева от сечения действует сжимающая сила P₁ (рис. 2, а).

N_AB = - P₁ = -45 кН.

Участок ВС, сечение 2-2. Слева от него расположены две силы, направленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим:

N_BC = -P₁+ P₂ = -45 + 80 = 35 кН

Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем

N_CD = -P₁ + P₂ + P₃ = -45 + 80 + 120 = 155 кН.

По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна.

Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.

Построение эпюры напряжений σ

Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:

= - 37,5 Мпа

= 29,3 Мпа

= 387,5 МПа

 

При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растяжению, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 2, в.

Построение эпюры продольных перемещений.

Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удлинения отдельных участков бруса, используя закон Гука:

Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю:

Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Перемещение сечения С определяется по формуле:

При положительной (растягивающей) силе точка С сместится влево.

Перемещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB. Складывая их удлинения, получаем:

Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:

 

В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычисленных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, строим эпюру перемещений (рис. 2, г).

Проверка прочности бруса.

Условие прочности записывается в следующем виде:

Максимальное напряжение находим по эпюре напряжений, выбирая максимальное по абсолютной величине:

Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасным.

Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:

Сравнивая и , видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.