Кафедра машиностроения
Расчётно-графическая работа
По дисциплине МЕХАНИКА
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема: Решение задач
Вариант 12
Выполнил студент группы: РМ-17 Конченко А.И.
Проверил: доцент _____________________________ / Злотников Е.Г. /
Санкт-Петербург
2019 год
Задание: Ступенчатый брус (рис.1) нагружен силами P1, P2, P3 направленными вдоль его оси. Заданы длины участков a, b, c и площади их поперечных сечений F1 и F2. Модуль упругости материала E = 2*105 Мпа, предел текучести σт = 240 Мпа и запас прочности по отношению к пределу текучести nт = 1,5.
Дано:
E = 2*105 МПа, σт = 240 Мпа,
nт = 1,5, P1= 45 кН, P2 = 80 кН,
P3 = 120 кН, a = 0,3 м, b = 0,5 м,
c = 0,5 м, F1 = 4 см2, F2 = 12 см2
Рис.1. Расчетная схема
Задача:
1) построить эпюры продольных сил N, напряжений σ и продольных перемещений D;
2) проверить, выполняется ли условие прочности.
Решение:
Рисунок 2. Расчетная схема бруса и эпюры
Для определения продольной силы на каждом участке рассматриваем произвольное поперечное сечение. Чтобы не определять предварительно реакцию в заделке D, начинаем расчеты со свободного конца бруса А.
Участок АВ, сечение 1-1. Слева от сечения действует сжимающая сила P1 (рис. 2, а).
NAB = - P1 = -45 кН.
Участок ВС, сечение 2-2. Слева от него расположены две силы, направленные в разные стороны. С учетом правила знаков, получим:
NBC = -P1+ P2 = -45 + 80 = 35 кН
Участок СD, сечение 3-3: аналогично получаем
NCD = -P1 + P2 + P3 = -45 + 80 + 120 = 155 кН.
По найденным значениям N в выбранном масштабе строим эпюру, учитывая, что в пределах каждого участка продольная сила постоянна.
Положительные значения N откладываем вверх от оси эпюры, отрицательные - вниз.
Построение эпюры напряжений σ
Вычисляем напряжения в поперечном сечении для каждого участка бруса:
= - 37,5 Мпа
= 29,3 Мпа
= 387,5 МПа
При вычислении нормальных напряжений значения продольных сил N берутся по эпюре с учетом их знаков. Знак плюс соответствует растяжению, минус - сжатию. Эпюра напряжений показана на рис. 2, в.
Построение эпюры продольных перемещений.
Для построения эпюры перемещений вычисляем абсолютные удлинения отдельных участков бруса, используя закон Гука:
Определяем перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение D расположено в заделке, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю:
Сечение С переместится в результате изменения длины участка CD. Перемещение сечения С определяется по формуле:
При положительной (растягивающей) силе точка С сместится влево.
Перемещение сечения В является результатом изменения длин DC и CB. Складывая их удлинения, получаем:
Рассуждая аналогично, вычисляем перемещение сечения А:
В выбранном масштабе откладываем от исходной оси значения вычисленных перемещений. Соединив полученные точки прямыми линиями, строим эпюру перемещений (рис. 2, г).
Проверка прочности бруса.
Условие прочности записывается в следующем виде:
Максимальное напряжение 
находим по эпюре напряжений, выбирая максимальное по абсолютной величине:
Это напряжение действует на участке DC, все сечения которого являются опасным.
Допускаемое напряжение вычисляем по формуле:
Сравнивая и 
, видим, что условие прочности не выполняется, так как максимальное напряжение превышает допускаемое.