Теорема Чебышева (Закон больших чисел)

Если попарно независимы СВ, причем их дисперсия равномерно ограничены , где C=const, то как бы ни было мало положительное число ε вероятность неравенства будет сколь угодно близка к единице, если число СВ достаточно велико: . Т.О. это означает:

1) При достаточно большом числе п СВ имеющих 2) ограниченные дисперсии почти достоверно, что отклонение среднеарифметической СВ от среднеарифметического их мат ожидания будет сколь угодно мало по абсолютной величине.

Без доказательства (на основании неравенства Чебышева).

На практике СВ Х_i имеет одно и тоже мат ожидание, равное а, тогда последнее неравенство можно представить в виде: .

Сущность теоремы Чебышева.

Среднеарифметическое достаточно большого числа попарно независимых СВ, дисперсии которая ограничена и утрачивает случайный характер, т.е. если X_i может существенно отклонятся от своих мат ожиданий, то среднеарифметическое СВ с большей вероятностью будет близко числу, равному сумме среднеарифметического мат ожидания.

Практическое значение теоремы Чебышева. Пусть производится п измерений, результаты которого будем рассматривать как СВ . Если СВ Х_i: 1) попарно независимы; 2) имеют одно и тоже мат ожидание ; 3) их дисперсия равномерно ограничены, то можно применить теорему Чебышева и сделать следующий вывод:

При достаточно большом числе измерений почти достоверно, что среднеарифметическое всех измерений, как среднеарифметическая СВ, как угодно мало отличается от истинного значения измеряемой величины (истинное значение равно а).

Т.О., на практике исследуется некоторый объект за истинное значение среднеарифметического , полученных значений.

На основании Чебышева рассматривая выбранный метод в мат. статистике, т.е. по сравнительно небольшой выборке судят и о всей совокупности исследуемых объектов.