Тема 3. Методы уточнения корней нелинейных уравнений

Практическое занятие 2

Тема 3. Методы уточнения корней нелинейных уравнений

(Лк –2 ч., ПЗ – 4 ч., СРС – 8 ч.).

 

Расчетное задание

1. Дано нелинейное уравнение и интервал существования его корня . Вычислить в Excel значение корня с точностью ε = 0,001, используя следующие три метода:

- половинного деления;

- касательных;

- итераций.

2. Для проверки Excel-программ вычисления корня постройте с помощью микрокалькулятора контрольные тесты для каждого метода уточнения корня.

 

Таблица 1. Варианты уравнений

 

№ варианта	Уравнение	[ a, b ]	№ варианта	Уравнение	[ a, b ]
		[1; 2]			[1,2; 2]
		[0; 2]			[0; 1]
		[0,4; 1]			[1; 2]
		[1; 2]			[2; 3]
		[1; 2]			[1; 2]
		[2; 4]			[3; 4]
		[2; 3]			[0; 1]
		[1; 3]			[0; 1,5]
		[0; 1]			[0; 1]

 

Методические указания к выполнению задания

 

1. Выберите из таблицы 1 уравнение и интервал [ a, b ] существования его корня. Сформулируйте задачу нахождения корня уравнения с заданной точностью ε.

2. Разработайте с помощью микрокалькулятора контрольные тесты для каждого метода уточнения корня. Тесты должны содержать промежуточные результаты не менее первых двух итераций уточнения корня.

3. С помощью табличного процессора Excel выполните вычисление корня уравнения с заданной точностью каждым из указанных в задании методом. Предварительно, используя разработанные тесты, проверьте правильность работы составленных программ. При необходимости выполните их отладку.

4. При уточнении корня методом итерации проверьте найденную функцию уравнения на сходимость итерационного процесса.

5. При уточнении корня методом Ньютона в качестве нулевого приближения для уточняемого корня примите тот конец интервала [ a, b ], для которого выполняется неравенство .

 

Упражнения для самостоятельной работы

по приобретению умений и навыков по теме 3

 

1. Какую границу интервала [1, 3] существования корня уравнения необходимо принять в качестве исходного приближения для искомого корня при его уточнении методом Ньютона?

2. Уравнение приведите к виду и проверьте условие сходимости итерационного процесса уточнения корня методом итерации. Интервал изоляции корня составляет [0; 1].

 

Содержание отчета

- постановка задачи уточнения корня уравнения вашего варианта задания;

- последовательность операций приведения исходного уравнения к виду и проверки на сходимость процесса итераций4

- результаты разработки тестов уточнения корня уравнения методами половинного деления, итераций и Ньютона с подробным описанием выполняемых операций;

- копии таблиц Excel с результатами вычисления указанными методами корня уравнения с заданной точностью;

- результаты выполнения упражнений;

- ответы на контрольные вопросы темы 3.

 

Пример оформления отчета

 

Тема 3. Методы уточнения корней нелинейных уравнений

 

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение и интервал существования его корня . Вычислить методом итерации значение корня с точностью ε = 0,001.

 

Решение. Воспользуемся общим приемом приведения исходного уравнения к виду .

Уравнение умножим на произвольную константу λ и прибавим к обеим частям полученного уравнения переменную x. Получим

.

Вычислим .

; ; . Принимаем . По формуле находим λ = -0,28. .

Таким образом, исходная математическая задача определения корня уравнения сводится к следующей вычислительной задаче: выполнить вычисление значения корня уравнения по формуле , , пока не выполнится условие .

2. Блок-схема алгоритма уточнения корня приведена на рисунке.

3. Тест. За начальное приближение искомого корня принимаем любую точку из , например .

Приведём результаты вычислений (вручную) первых двух приближений и для уточняемого корня:

;

.

В первом приближении . Так как , то, принимая , вычислим корень в следующем (втором) приближении (начиная с блока 3):

.

Таким образом, имеем ; ; . Заметим, что , поэтому процесс уточнения корня должен быть продолжен.

Таблица. Результаты выполнения алгоритма уточнения корня

Методом итерации

 

A	B	x	X 1	x - X 1
-0,5	-0,1	-0,2000	-0,3690	0,1690
		-0,3690	-0,4051	0,0361
		-0,4051	-0,4126	0,0075
		-0,4126	-0,4141	0,0015
		-0,4141	-0,4144	0,0003
		-0,4144	-0,4145	0,0001