Разбор задач контрольной работы № 5

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Вологодский государственный университет

Кафедра математики

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебно-методическое пособие

По выполнению контрольных работ № 4, 5, 6

Институт машиностроения, энергетики и транспорта

Вологда

Задачи для контрольных заданий

Контрольная работа № 4

Тема 1. Производная.

Тема 2. Исследование функций.

Задача 1. Вычислить производные следующих функций

1.1 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.2 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.3 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.4 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.5 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.6 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.7 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.8 а) ; б) ; г) ;

г) .

1.9 а) ; б) ; в) ;

г) .

1.10 а) ; б) ; в) ;

г) .

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение в момент . Определить в какой момент скорость движения точки будет равна нулю.

2.1 .

2.2 .

2.3 .

2.4 .

2.5 .

2.6 .

2.7 .

2.8 .

2.9 .

2.10 .

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

3.1 .

3.2 .

3.4 .

3.5 .

3.6 .

3.7 .

3.8 .

3.9 .

3.10 .

Задача 4. Приближенно решишь уравнения. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить методом Ньютона (методом касательных)

4.1

4.2 .

4.3 .

4.4 .

4.5 .

4.6 .

4.7 .

4.8 .

4.9 .

4.10

Контрольная работа № 5

Тема 3. Неопределённый интеграл.

Тема 4. Определенный интеграл.

Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл.

1.1 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.2 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.3 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.4 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.5 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.6 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.7 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.8 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.9 а) ; б) ;

в) ; г) .

1.10 а) ; б) ;

в) ; г) .

Задача 2. Вычислить определенный интеграл.

2.1 а) ; б) .

2.2 а) ; г) .

2.3 а) ; б) .

2.4 а) ; б) .

2.5 а) ; б) .

2.6 а) ; б) .

2.7 а) ; б) .

2.8 а) ; б) .

2.9 а) ; б) .

2.10 а) ; б) .

Задача 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

3.1 .

3.2 .

3.3 .

3.4 и .

3.5 и .

3.6 .

3.7 .

3.8 .

3.9 и .

3.10 и .

Задача 4. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

4.1 а) ; б) .

4.2 а) ; б) .

4.3 а) ; б) .

4.4 а) ; б) .

4.5 а) ; б) .

4.6 а) ; б) .

4.7 а) ; б) .

4.8 а) ; б) .

4.9 а) ; б) .

4.10 а) ; б) .

Контрольная работа № 6.

Тема 5. Функции нескольких переменных.

Задача 1. Вычислить частные производные и полный дифференциал функции . Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

1.1 , .

1.2 , .

1.3 , .

1.4 , .

1.5 , .

1.6 , .

1.7 , .

1.8 , .

1.9 , .

1.10 , .

Задача 2. Найти линейную зависимость между величинами где . Параметры вычислить методом наименьших квадратов.

2.1

X
	4,2	2,8	5,7	10,5	13,2	20,5	33,4	46,9	60,1	71,2

2.2

X

2.3

X
	4,2	3,2	2,9	2,5	2,45	2,15	2,00	1,75	1,9	1,6

2.4

X
	4,4	5,1	5,4	6,7	6,2	7,5	7,7	9,2	9,9	11,5

2.5

X
	4,9	6,5	7,1	7,9	8,1	8,9	8,6	9,1	9,5	9,7

2.6

X

2.7

X

2.8

X
	- 2	- 12	- 15	- 19	- 35	- 35	- 47	- 55	- 60	- 69

2.9

X

2.10

X
	6,8	5,8	5,0	4,3	3,6	3,6	3,1	2,9	2,5	2,3

Разбор задач контрольной работы № 4

Тема 1. Производная.

Тема 2: Исследование функйий.

Задача 1. Вычислить производные следующих функций

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) Вычислим производную функции .

б) Вычислим производную функции .

в) Вычислим производную функции

г) Вычислим производную функции заданной параметрически

, где

Тогда .

Задача 2. Точка движется прямолинейно по закону м. Найти скорость и ускорение в момент сек. Определить в какой момент скорость движения точки будет равна нулю.

Решение.

Скорость движения точки . В момент сек. .

Ускорение . В момент сек. .

Скорость движения точки равна если . Корень уравнения не имеет смысла. Таким образом скорость движения точки равна нулю в начальный момент и через 5 сек. после начала движения.

Задача 3. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции: .

2) Область значений функции: .

3) Свойствами чётности или нечетности функция не обладает т.к. .

4) График функции проходит через начало координат ;

при и при .

5) Исследуем функцию на экстремумы и монотонность.

Критическими точками являются точки .

т.е. функция возрастает при ;

т.е. функция убывает при .

Таким образом функция имеет максимум при и минимум при .

6) Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость и точки перегиба.

Критическими точками являются точки .

т.е. график функции является выпуклым при и т.е. график функции является вогнутым при . Точки перегиба отсутствуют.

7) Определим асимптоты графика функции.

а) Точкой разрыва функции является точка .

Рассмотрим поведение функции в окрестности точки разрыва.

Так как и , то прямая является вертикальной асимптотой графика функции.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где и .

Таким образом наклонной асимптотой является прямая .

Построим график данной функции.

Задача 4. Приближенно решишь уравнения. Отделить корни уравнения аналитически и уточнить с точностью 0,001 методом Ньютона (методом касательных) .

Решение.

Вычислим производную функции ; . т.к. дискриминант квадратного трехчлена , а значит функция монотонно возрастает при всех . Таким образом данное уравнение имеет единственный действительный корень. Отделим этот корень аналитически, для этого составим таблицу


	–	+

Итак уравнение имеет единственный действительный корень . Уточним корень методом Ньютона (методом касательных).

Вычислим вторую производную данной функции при , то за начальное приближение примем , т.к. . Вычисления производим по формуле . вычисления проводятся до тех пор, пока не станет меньше 0,001. Составим таблицу


	0,4	4,4	0,090909	0,909091
0,909091	0,060406	4,054545	0,014898	0,894193
0,894193	0,009172	3,997932	0,002294	0,891899
0,891899	0,001389	3,989214	0,000348	0,89155
0,89155	0,00021	3,987892	5,27E-05	0,891498

Ответ: .

Разбор задач контрольной работы № 5

Тема 3. Неопределённый интеграл.

Тема 4. Определенный интеграл.

Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

а) . Для вычисления данного интеграла выполним замену переменных и . Тогда .

б) . Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования по частям . Пусть функция и дифференциал . Найдем . Тогда .

в) . Разложим подынтегральную рациональную дробь в сумму простейших дробей с неизвестными коэффициентами . Для того, чтобы найти неизвестные коэффициенты выполним преобразования: