ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр, 2017/2018 уч. год
Лекторы: доц. Янченко А.Я., ст. преп. Подкопаева В.А.
Экзаменационная программа
1. Производная. Определение, механический и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали.
2. Производная. Определение. Таблица производных элементарных функций.
3. Дифференцируемость функции в точке. Критерий дифференцируемости.
4. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое условие дифференци-руемости. Арифметические свойства дифференцируемых функций
5. Теорема о производной сложной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
6. Дифференциал функции и его основные свойства.
7. Локальные экстремумы функций. Необходимое условие экстремума дифферен-цируемой функции.
8. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Ролля.
9. Теоремы Лагранжа и Коши.
10. Правило Лопиталя.
11. Условия монотонности дифференцируемой функции.
12. Достаточные условия локального экстремума.
13. Выпуклость. Достаточное условие выпуклости.
14. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба
(по второй производной).
15. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
16. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
17. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и
построения графика.
18. Производная обратной функции. Производные 
19. Производные функций, заданных параметрически.
20. Геометрические векторы.
21. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов.
22. Плоскость и прямая в пространстве. Основные задачи о прямых и плоскостях.
23. Определители n -го порядка. Вычисление и свойства.
24. Матрицы. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц. Обратная матрица.
25. Элементарные преобразования матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
26. Пространство Rn арифметических векторов (линейное пространство).
27. Линейная зависимость. Базис. Линейное подпространство в Rn .
28. Размерность линейного подпространства (пространства). Ранг матрицы.
29. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричные уравнения.
30. Системы n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных. Правила Крамера.
31. Свойства решений линейной системы. Нетривиальная совместность однородной системы. Совместность линейной системы.
32. Фундаментальная система решений линейной однородной системы. Структура общего решения однородной системы.
33. Структура общего решения неоднородной системы.
34. Линейный оператор в Rn (в линейном пространстве). Матрица линейного оператора.
35. Действия с линейными операторами и их матрицами.
36. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при изменении базиса.
37. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Их свойства и вычисление.
38. Кривые 2-го порядка.
39. Поверхности 2-го порядка.
Экзаменационные задачи по МА
1. Найти производную 
если
| 
|
| 
|
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
2. Провести исследование и построить график функции:
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
Экзаменационные задачи по ЛА
1. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):
| 
|
| 
|
| 
|
| 
|
2. Треугольник ABC задан координатами вершин: A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1). Вычислить площадь треугольника.
3. Записать уравнения ребер призмы OABO 1 A 1 B 1: O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), O 1(0,0,1), A 1(1,0,1), B 1(0,1,1).
4. Записать уравнение грани 
тетраэдра OABC, где O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (достаточно одной).
5. Записать уравнения высоты тетраэдра OABC, опущенной из вершины С: (где O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1)).
6. Вычислить объем тетраэдра OABC, O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1).
7. Линейный оператор A, действующий в R3, задан матрицей A
Найти координаты образа вектора 
8. Линейный оператор, действующий в R2, задан в некотором базисе матрицей
Найти матрицу оператора в базисе 
9. Исследовать на линейную зависимость систему векторов:
10. Вычислить обратную матрицу. Провести проверку.
| Экзаменационный билет № 1 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Производная. Определение, механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали.
2. Найти производную если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений однородной системы, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 2 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Производная. Определение. Таблица производных элементарных функций.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 3 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Дифференцируемость функции в точке. Критерий дифференцируемости.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Треугольник ABC задан координатами вершин: A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1). Вычислить площадь треугольника.
|
| Экзаменационный билет № 4 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Дифференцируемость функции в точке. Необходимое условие дифферен-цируемости. Арифметические свойства дифференцируемых функций.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 5 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Теорема о производной сложной функции. Логарифмическое дифферен-цирование.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 6 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Дифференциал функции и его основные свойства.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений однородной системы, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 7 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Локальные экстремумы функций. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений однородной системы, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 8 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Теорема Ролля.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений однородной системы, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 9 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Теоремы Лагранжа и Коши.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Записать уравнения ребер призмы OABO 1 A 1 B 1: O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), O 1(0,0,1), A 1(1,0,1), B 1(0,1,1).
|
| Экзаменационный билет № 10 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Правило Лопиталя.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Записать уравнения граней тетраэдра OABC: O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (достаточно одной).
|
| Экзаменационный билет № 11 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Условия монотонности дифференцируемой функции.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Линейный оператор A, действующий в R3, задан матрицей A
Найти координаты образа вектора
|
| Экзаменационный билет № 12 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Достаточные условия локального экстремума.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Линейный оператор, действующий в R2, задан в некотором базисе матрицей
Найти матрицу оператора в базисе
|
| Экзаменационный билет № 13 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Выпуклость. Достаточное условие выпуклости.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Треугольник ABC задан координатами вершин: A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1). Вычислить площадь треугольника.
|
| Экзаменационный билет № 14 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба (по второй производной).
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Записать уравнение грани  тетраэдра OABC, где O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1) (достаточно одной).
|
| Экзаменационный билет № 15 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать на линейную зависимость систему векторов:
|
| Экзаменационный билет № 16 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Записать уравнения высоты тетраэдра OABC, опущенной из вершины С: (где O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1)).
|
| Экзаменационный билет № 17 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Вычислить обратную матрицу. Провести проверку.
|
| Экзаменационный билет № 18 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Производная обратной функции. Производные 
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Исследовать систему линейных алгебраических уравнений (доказать совместность, записать фундаментальную систему решений однородной системы, найти и проверить общее решение):
|
| Экзаменационный билет № 19 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Производные функций, заданных параметрически.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Треугольник ABC задан координатами вершин: A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1). Вычислить площадь треугольника.
|
| Экзаменационный билет № 20 | |
| Кафедра: ВМ Дисциплина: МА+ЛА Факультет: ИЭТ, Эл-12,13,14,16,17,18, 1 семестр | «Утверждаю» зав. кафедрой |
1. Теорема Лагранжа.
2. Найти производную  если
3. Провести исследование и построить график функции:
4. Вычислить объем тетраэдра OABC, O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,1,0), C (0,0,1).
|