Начнём с независимых событий. События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). …Да чего тут вымучивать общие фразы:
Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий 
и 
равна произведению вероятностей этих событий:
Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:
– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.
Найдём вероятность события 
(на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !). Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий:
Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-ой решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-ой орёл.
Заметьте, что события 
образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: 
.
Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события 
независимы, то вероятность их совместного наступления равна: 
. Потренируемся на конкретных примерах:
Задача 3
В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
|
|
Решение: вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:
– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.
По классическому определению:
– соответствующие вероятности.
Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением 
.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что из 3-х ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.
Ответ: 0,504
После бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:
Задача 4
В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.
Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ»;-) Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.
Зависимые события. Событие 
называют зависимым, если его вероятность 
зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно до ближайшего магазина:
– завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.
Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным 
, так и невозможным 
. Таким образом, событие является зависимым.
|
|
Хлеба… и, как требовали римляне, зрелищ:
– на экзамене студенту достанется простой билет.
Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность 
будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.