Задачи к экзамену
Курс.
Проективная геометрия
1. На расширенной плоскости дан репер R={ 
}. Построить точку М (240,240,-120).
2. В репере R точка М(15,5,-6). Построить единичную точку, если вершины репера А1, А2, А3 и точка М заданы.
3. На проективной плоскости в некотором репере заданы точки N(-4,0,7) и P(1,3,-1). Найти координаты точек пересечения прямых (А1N) и (РЕ). Написать параметрическое уравнение прямых (А1N) и (РЕ).
4. Прямые а и а1, b и b1 пересекаются в недоступных точках А и В соответственно. Построить доступную часть прямой АВ.
5. Даны прямая d и точки К и М. Не проводя прямую (КМ), построить ее точку пересечения с d.
6. На расширенной прямой d даны точки К, М, N. Построить точку Y, так, чтобы (К М, NY)=-3.
7. На расширенной прямой d даны точки P, Q, R. С помощью одной линейки построить на d точку S так, чтобы (QS, RP)=2.
8. На расширенной прямой d дан отрезок MN и его середина K. С помощью одной линейки построить на d точку L так, чтобы ML=1,5MN.
9. Гомология задана осью d¥, центром S и парой соответствующих точек A и A/. Построить прообраз данной прямой р.
10. Гомология задана двумя парами соответствующих прямых p и p/, q и q/ и инвариантной прямой d. Найти образ точки А
11. Параболическая гомология задана парой соответствующих прямых p и p/ и инвариантной точкой Х d. Найти образ произвольной точки Вµ
12. В проективном отображении прямой на прямую даны три пары соответствующих точек О и О/, В и В/, С и С/. Построить образ точки М¥, если О/ - точка пересечения данных прямых.
13.. В проективном отображении прямой d на прямую d/ даны три пары соответствующих точек А и А/, В=d∩d/ и В¥/, С и С/. Построить прообраз точки В.
14. В проективном отображении пучка П(О¥) на пучок П(О/) даны три пары соответствующих прямых а и а/, d и d/, с¥ и с/. Построить прообраз прямой (О¥О/).
15. Инволюция задана двумя парами соответствующих точек А и А/, В и В/. Построить образ произвольной точки К при этой инволюции.
16. Инволюция задана инвариантной точкой Х и двумя соответствующими точками С и С/. Построить прообраз произвольной точки М при этой инволюции.
17. Построить полюс данной точки К относительно данной овальной линии g.
18. Построить касательную к овальной линии g, проходящую через точку М, если а) МÎg; б) МÏg.
19. Овальная линия задана пятью точками общего положения А1, А2, А3, А4, А5. Точка МÎ А2А4. Не проводя овальной линии, построить поляру точки М.
20. Даны четыре (три) точки овальной линии γ и касательная к γ в одной (в двух) из них. Построить а) еще одну касательную в одной из оставшихся точек; б) еще одну точку двумя способами с помощью теорем Штейнера и Паскаля.
21. Найти полюс прямой 
и поляру точки К(2,1,4) относительно кривой 
22. Написать уравнение касательных к овальной линии, х1х2-(х3)2=0, проходящих через точку В(1,0,1)
23. Написать уравнение касательной к овальной линии (х1)2+(х2)2-(х3)2=0 в точке пересечения этой линии с прямой А1А3
Следствия из I–III групп аксиом Гильберта
1. Доказать, что через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.
2. Доказать, что на любой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Доказать, что для любых двух точек А и В существуют точки М и К, такие, что А,В,М,К не лежат в одной плоскости.
4. Доказать, что прямая, не проходящая через вершины треугольника, не может пересекать все его стороны.
5. Доказать, что из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
6. Доказать, что любой луч, проходящий через внутреннюю точку угла, является внутренним лучом этого угла.
7. Доказать, что любая точка отрезка с концами на сторонах угла является внутренней точкой этого угла
8. Доказать второй, третий, четвертый признаки конгруэнтности треугольника
9. Доказать, что углы, смежные конгруэнтным, конгруэнтны
10. Доказать, что любые два прямых угла конгруэнтны
11. Доказать, что у любого отрезка существует единственная середина
12. Доказать, что у неразвернутого угла существует биссектриса
13. Доказать, что из любой точки к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один
14. Доказать, что если Ðkl = Ðk’l’, h и h’– их внутренние лучи, и Ðkh = Ðk’h’, то Ðhl = Ðh’l’.
15. Доказать, что если h и h’– внутренние лучи Ðkl и Ðk’l’, Ðkh = Ðk’h’ и Ðhl = Ðh’l’, то Ðkl = Ðk’l’
Геометрия Лобачевского