Практическая работа
Тема «Нахождение интеграла методом непосредственного интегрирования и методом подстановки. Интегрирование по частям».
Тема 3. Основные понятия и методы математического анализа.
Цель: Формирование умений и навыков вычисления интегралов простейших функций.
Краткие сведения из теории.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение. Функция 
называется первообразной для функции 
на некотором интервале 
, если 
для всех значений 
.
Если 
— первообразная для 
, то бесконечное множество всех первообразных 
, отличающихся только константой, также будет являться первообразной для 
.
Определение. Множество всех первообразных функций 
называется неопределенным интегралом от функции 
.
Обозначается:
,
где 
— некоторая первообразная для функции 
; 
— произвольная постоянная.
Вычисление неопределенного интеграла называется интегрированием. Проверить правильность вычисления неопределенного интеграла можно, продифференцировав результат.
Свойства неопределенного интеграла.
1) 
, где 
.
2) 
.
3) 
.
Основные неопределенные интегралы.
1) 
| 2) 
| 3) 
|
4) 
| 5) 
| 6) 
|
7) 
| 8) 
| 9) 
|
10) 
| 11) 
| 12) 
|
Основные методы интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
2. Замена переменных.
Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией 
.
Сделаем замену переменных, положив 
, где функция 
удовлетворяет следующим двум условиям:
1) 
- непрерывная функция;
2) 
- непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию.
Тогда 
.
После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.
3. Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где 
и 
— непрерывно дифференцируемые функции.
Применяется в следующих случаях:
1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: 
, 
, 
.
В этом случае в качестве выбирается многочлен 
.
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Это интегралы вида: 
, 
, 
, 
, 
.
В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию.
Порядок выполнения практической работы.
1. Повторить сведения из теории.
2. Получить задание на практическую работу у преподавателя.
3. Выполнить задание своего варианта.
4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.
5. Защитить практическую работу.
Контрольные вопросы.
1. Определение первообразной.
2. Определение неопределённого интеграла.
3. Свойства неопределённого интеграла.
4. Назовите табличные интегралы.
5. Замена переменных в неопределенном интеграле.
6. Формула для интегрирования по частям.
7. Что рационально взять за u, а что за dv?
Пример выполнения задания.
1. Вычислить неопределенный интеграл 
.
Решение.
2. Вычислить неопределенные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение.
а) 
.
б) 
.
3. Вычислить неопределенные интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение.
а) 
.
б) 
.