Тема 3. Общая схема метода разделения переменных. Задача Штурма-Лиувилля.

План.

1. Общая схема метода разделения переменных. Понятие задачи Штурма-Лиувилля.

2. Задача Штурма-Лиувилля для отрезка, прямоугольника, прямо­угольного параллелепипеда.

3. Задача Штурма-Лиувилля для круга, кругового кольца, кругового сектора, цилиндра.

4. Задача Штурма-Лиувилля для шара и шарового слоя.

5. Решение неоднородных уравнений.

 

1. Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из наи­более распространенных методов решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим общую схему этого метода на примере задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах.

Отметим, что используемый метод может применяться и при решении дру­гих линейных уравнений математической физики.

Будем искать решение уравнения

(3.1)
удовлетворяющее однородным граничным условиям

(3.2)
и начальным условиям

(3.3)
Уравнение (3.1) линейно и однородно. Поэтому сумма частных решений этого уравнения также является его решением. Найдем частное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничным условиям (3.2). Представим частное решение в виде произведения

, (3.4)
где - функция только переменного , а - функция только . Подстав­ляя (3.4) в (3.1), имеем:

.

Поделим последнее уравнение на :

(3.5)
По условию переменные и независимы. В левой части равенства нахо­дится функция только от , а в правой – только . Фиксируя, например, некото­рое значение и меняя (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (3.5) при изменении своих аргументов сохраняют постоян­ное значение

(3.6)
где - некоторая произвольная постоянная. Знак «минус» в (3.6) использо­ван для удобства (постоянная может иметь любой знак, поэтому значение выражения (3.6) не изменяется).

Уравнение (3.6) равносильно системе двух обыкновенных дифференци­альных уравнений.

(3.7)
(3.8)
Подставляя (3.4) в граничные условия, получим:

В силу нетождественности нулю, из граничных условий следует:

(3.9)
Уравнение (3.7) вместе с граничными условиями (3.9) образуют задачу о соб­ственных значениях:

Найти те значения параметра , при которых существуют нетривиаль­ные решения задачи

(3.10)
а также найти эти решения.

Значения , удовлетворяющие (3.10), называются собственными значе­ниями, а соответствующие им решения – собственными функциями. Краевая задача (3.10) называется задачей Штурма-Лиувилля для отрезка.

Перечислим основные свойства собственных значений и собственных функций:

1. Существует бесконечное множество собственных значений и собствен­ных функций ; собственные значения при увеличении номера неограниченно возрастают. Каждому собственному значению соответст­вует конечное число линейно независимых функций.

2. Собственные функции ортогональны между собой в области определения с весом :

(3.11)
3. Теорема разложимости Стеклова. Производная дважды непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая однородному граничному условию, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям данной краевой задачи:

(3.12)
В общем случае решения с помощью метода Фурье произвольной краевой задачи для уравнения в частных производных под понимают совокупность переменных.

Решим задачу Штурма-Лиувилля (3.10). Отдельно рассмотрим случаи, когда параметр положителен, отрицателен или равен нулю.

1. Пусть Решение уравнения (3.7) имеет вид:

Подставляя полученное соотношение в граничные условия (3.9), имеем:

(3.13)
Определитель, составленный из коэффициентов при и , отличен от нуля, т.е. система уравнений (3.13) имеет единственное решение:

Таким образом, при уравнение (3.7) имеет тривиальное решение.

2. При решение уравнения (3.7) имеет вид:

Подстановка последнего выражения в (3.9) приводит к системе уравнений для коэффициентов и :

Определитель этой системы равен , т.е. также отличен от нуля. Таким образом уравнение (3.7) при также имеет тривиальное решение.

3. Рассмотрим случай . Общее решение уравнения (3.7) имеет в этом случае вид:

(3.14)
Подставляя (3.14) в граничные условия, имеем:

(3.15)
Из первого уравнения системы (3.15) следует:

Тогда второе уравнение этой системы принимает вид:

Возможны два решения последнего уравнения:

В первом случае мы получаем тривиальное решение для . Поэтому рассмотрим уравнение

Его решение имеет вид

(3.16)
Выражение (3.16) определяет собственные значения задачи Штурма-Лиувилля. Собственные функции этой задачи имеют вид:

(3.17)
Заметим, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля определяются с точностью до произвольного постоянного множителя.

Рассмотрим теперь уравнение (3.8) для . Заметим, что отдельную задачу для мы построить не можем, так как начальные условия (3.3) не являются однородными. Итак,

(3.18)
Решения уравнения (3.18) имеют вид:

(3.19)
где и - постоянные коэффициенты.

Подставляя (3.17) и (3.19) в (3.4), получим

(3.20)
Функции являются частными решениями уравнения (3.1), удовлетворяющими граничным условиям (3.2). Общее решение представляется в виде суммы частных решений:

(3.21)
Определим неизвестные пока коэффициенты и из начальных условий.

(3.22)
Выражения (3.22) представляют собой разложения функций и в ряд Фурье по синусам. Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция , заданная в интервале , разлагается в ряд Фурье

где

Сравнивая выражение для коэффициентов ряда Фурье и соотношениями (3.22), получим

(3.23)
Таким образом, выражение (3.21), коэффициенты и которого определяются согласно (3.23), является общим решением краевой задачи (3.1) – (3ю3) для колебаний струны.

В заключение перечислим еще раз основные этапы решения краевой задачи с помощью метода Фурье:

1) Представить искомое решение в виде произведения двух функций:

(3.24)
и разделить переменные.

Разделение переменных во избежание ошибки целесообразно осуществлять последовательно, отделяя, в первую очередь, те переменные, которые входят в неоднородные начальные или граничные условия.

2) Полученная в результате разделения переменных задача для функции будет являться задачей Штурма-Лиувилля. Для ее решения также можно воспользоваться также расчетной схемой метода разделения переменных.

3) Решить задачу Штурма-Лиувилля для функции . В результате будут получены собственные функции и собственные значения .

Если представляет собой функцию нескольких переменных, то вместо может использоваться несколько индексов, по каждому из которых в последующем будет производиться суммирование.

4) С учетом известных собственных значений задачи Штурма-Лиувилля найти систему частных решений

5) Представить искомое решение в виде ряда:

(3.25)
Если вместо используется несколько индексов, суммирование производится по каждому из них.

Коэффициенты ряда (3.25) находятся как коэффициенты разложения функций, входящих в неоднородные начальные или граничные условия по системе ортогональных функций , являющихся решением задачи Штурма-Лиувилля.

 

2. Как было отмечено выше, важную роль в решении дифференциального уравнения в частных производных методом разделения переменных играет задача Штурма-Лиувилля. В наиболее общей постановке задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа имеет вид:

(3.26)
(3.27)
Здесь - область определения уравнения (3.26), - граница области , коэффициенты и не равны нулю одновременно:

Рассмотрим методы решения задачи Штурма-Лиувилля для областей различной геометрической формы.

1) Задача Штурма-Лиувилля для отрезка.

Частный случай этой задачи рассмотрен выше. Рассмотрим ее общую постановку. Найти собственные функции уравнения

(3.28)
и собственные значения при следующих граничных условиях:

(3.29а)
(3.29б)
Знак «минус» в (3.29а) связан с тем, что внешняя нормаль к границе для отрезка при направлена в отрицательную сторону.

Обозначим через и фундаментальную систему решений уравнений (3.28). Общее решение имеет вид:

(3.30)
Подставим решение (3.30) в граничные условия (3.29):

(3.31)
Выражение (3.31) можно рассматривать как систему алгебраических уравнений относительно неизвестных и . В случае, если эта система имеет единственное решение, оно равно: . Это решение является тривиальным и не представляет никакого интереса с физической точки зрения. По этой причине потребуем, чтобы система (3.31) имела множество решений. Это возможно в том случае, если определитель, составленный из коэффициентов системы (3.31), был равен нулю:

(3.32)
Уравнение (3.32) записано относительно и называется дисперсным уравнением. Система решений уравнения (3.32) образует спектр собственных значений задачи Штурма-Лиувилля.

Найдем собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. В силу равенства нулю определителя (3.32) уравнения системы (3.31) являются равносильными. Выберем, например, первое уравнение системы (3.31). Его решение имеет вид:

Подставляя полученный результат в (3.30), имеем:

(3.33)
Функция (3.33) является собственной функцией задачи Штурма-Лиувилля для отрезка. Напомним, что собственные функции определяются с точностью до постоянного коэффициента, значение которого находится отдельно.

Важным частным случаем является задача Штурма-Лиувилля для отрезка с периодическими граничными условиями. Рассмотрим задачу

(3.34)
Общее решение уравнения имеет вид:

Периодичность связана с периодичностью функций синуса и косинуса. Это возможно в том случае, если

отсюда

(3.35)
2) Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольника.

Найти собственные функции уравнения

(3.36)
с граничными условиями

(3.37)
Здесь и - постоянные, причем

Для решения задачи (3.36) – (3.37) воспользуемся методом разделения переменных. Представим функцию в виде произведения:

(3.38)
Подставляя (3.38) и выполняя преобразования, запишем:

(3.39)
Граничные условия (3.37) принимают вид:

(3.40а)
(3.40б)
Соотношения (3.39) – (3.40) можно рассматривать как две задачи Штурма-Лиувилля для отрезка.

(3.41)
Тогда собственные значения задачи Штурма-Лиувилля для прямоугольника есть сумма собственных значений и соответствующих задач для отрезка, собственная функция задачи Штурма-Лиувилля для прямоугольника есть произведения соответствующих собственных функций для отрезка:

(3.42)
3) Задача Штурма-Лиувилля для прямоугольного параллелепипеда. Найти решение уравнения

(3.43)
с граничными условиями

(3.44)
После первого разделения переменных задача (3.43) – (3.44) сведется к задачам Штурма-Лиувилля для отрезка и прямоугольника, рассмотренным выше.

Собственные функции и собственные значения задачи для прямоугольного параллелепипеда имеют вид

(3.45)
Здесь - собственные функции и собственные значения соответствующих одномерных задач Штурма-Лиувилля по каждой переменной.