ВОПРОСЫК ЭКЗАМЕНУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ 1 КУРСА 2 семестра
Производная и дифференциал функции одной переменной.
1. Понятие производной функции одной переменной. Геометрическая и экономическая интерпретации производной. Уравнение касательной.
2. Понятие дифференцируемости функции в точке. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь непрерывности и дифференцируемости функции в точке.
3. Производная суммы, разности, произведения, частного двух функций, сложной и обратной функций. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
4. Производные основных элементарных функций. Понятие дифференциала функции одной переменной. Геометрическая интерпретация дифференциала. Основные свойства дифференциала.
5. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства. Иллюстрация экономического смысла второй производной.
Исследование функций одной переменной.
6. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Задача максимизации прибыли фирмы.
7. Локальный экстремум функции одной переменной. Необходимое условие существования внутреннего локального экстремума (теорема Ферма).
8. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля, Лагранжа и Коши) и их геометрическая интерпретация. Правило Лопиталя.
9. Достаточное условие монотонности функции на интервале. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной.
10. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.
11. Асимптоты графика функции одной переменной, их классификация и отыскание. Полное исследование функции одной переменной с использованием первой и второй производных и построение эскиза ее графика. Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости). Точка перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.
12. Асимптоты графика функции одной переменной, их классификация и отыскание.
13. Полное исследование функции одной переменной с использованием первой и второй производных и построение эскиза ее графика.
Функции нескольких переменных (ФНП).
14. Функции двух переменных. Понятие о линии (множестве) уровня функции двух переменных. Экономические иллюстрации (функции спроса и предложения, функция полезности, производственная функция).
15. Предел функции двух и нескольких переменных. Непрерывность ФНП в точке и на множестве. Понятие о сложной ФНП.
16. Частные производные и частные дифференциалы ФНП. Дифференцируемость ФНП. Главная линейная часть полного приращения ФНП. Полный дифференциал ФНП.
17. Достаточное условие дифференцируемости ФНП. Геометрическая и экономическая интерпретация частных производных. Эластичности.
18. Касательная плоскость к графику ФНП. Дифференцируемость сложных ФНП. Производная по направлению ФНП. Градиент ФНП и его основные свойства.
19. Частные производные и полный дифференциал второго порядка ФНП. Теорема о равенстве смешанных производных.
20. Экстремум ФНП, необходимое и достаточное условие экстремума.
Элементы интегрального исчисления
21. Первообразная и неопределенный интеграл. Первая основная теорема интегрального исчисления (о существовании первообразной у непрерывной функции). Основные свойства неопределенного интеграла.
22. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы.
23. Основные приемы интегрирования (заменой переменной и по частям).
24. Интегрирование рациональных дробей. Примеры.
25. Интегрирование иррациональных функций. Примеры.
26. Интегрирование тригонометрических функций. Примеры.
27. Определенный интеграл и его геометрическая интерпретация. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
28. Определенный интеграл с переменным верхним пределом и его производная по этому пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
29. Вторая основная теорема интегрального исчисления (о существовании определенного интеграла от непрерывной функции).
30. Замена переменной и интегрирование по частям для определенного интеграла. Экономические приложения определенного интеграла.
31. Геометрическое приложение определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, длина дуги, вычисление объёмов тел вращения.
32. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Числовые, функциональные и степенные ряды.
33. Понятие числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости числовых рядов.
34. Достаточные признаки сходимости рядов.
35. Признаки сходимости для знакопостоянных и знакочередующихся рядов. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
36. Функциональные ряды. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Непрерывность суммы функционального ряда.
37. Степенные ряды. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов с нулевым центром.
38. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда. Формула для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
39. Разложение функций в степенные ряды. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов.