Ю, В. Захаров, Ю. И. Манъков, Р. Г, Хлебопрос
Определено влияние неоднородного внутреггаего магнитного поля ферромш ков с доменной структурой на их проводимость. В приближении времени свой пробега, в области низких температур, получено изменение проводимости яо ч нению с однородным случаем. Обнаружена анизотропия проводимости в плошц перпендикулярной легкой оси ферромагнетика. Эффект влияния доменной струг? ры на проводимость связан с наличием вблизи доменной границы группы электр'оГ осуществляющих периодическое движение в поле двух соседних доменов с часто отличной от циклотронной.
Влияние магнитной подсистемы ферромагнетиков на их провод! обусловлено внутренним магнитным полем В (г) ==4лМ(г) и коллег ными возбуждениями этой подсистемы. В однодоменном ферромагта зависимость проводимости от магнитной подсистемы достаточно подро[ изучена. В многодоменном ферромагнетике по сравнению с одиород: магниченным в спектре спиновых волн появляются новые ветви влияние которых на проводимость исследовалось в работах Турова и лошинского [3] и Волкенштейна и Дякиной [4]. Кроме того, в ш доменном ферромагнетике внутреннее.магнитное поле становится аео; родным. Число электронов, которые чувствуют неоднородность iiai ного поля, при низких температурах пропорционально отношению i него радиуса R циклотронной прецессии электрона проводимости в нитном поле к ширине домена D, и, следовательно, добавка к солро: лешгю за счет неоднородности ноля будет иметь такой же порядок. 06i RID = i^r IQ~Z, поэтому представляет интерес исследовать влияние однородного внутреннего магнитного ноля в ферромагнитном образ! доменной структурой на его проводимость.
Известно [3], что проводимость может быть записана в виде
а* («) = е* J dt J dT (r*, /) vt (О е
Здесь (и, Ъ) —скобки Пуассона, / = /(г, р) —равновесная функция пределения, Г — фазовый объем, dT = 2(2я/г) ~3dpdv, Vi(t) —скорость ктрона, которая определяется из уравнения
vt(t) = (i;(, ^);
Ж — гамильтониан, соответствующий равновесной функции распредел! Учитываем релаксацию в системе электронов проводимости в множителя е~'/г; т — время, свободного пробега электронов. Считаем стему электронов однородной. Тогда функция распределения зав' только от энергии электрона е и (га, /) = vhdf / дъ.. Предполагаем дш сионный закон квадратичным и изотропным; в этом случае гамильто.запишется в виде
Электропроводность ферромагнетиков с доменной структурой
•-канонический импульс, А — векторный потенциал. Электрическое поле *в образце однородным E(i) =£r0cosco£. Требование однородности iae невырожденного газа электронов проводимости выполняется до шх частот со внешнего поля, в частности, это требование удовлет-ется вблизи частоты циклотронного резонанса [6]. Для вырожден-
в газа электрическое поле в образце будет однородным только при х ш, и в этом случае мы будем рассматривать статическую проводи-при сделанных допущениях решение уравнения (2) в общем
(затруднительно. Однако в случае о дно доменного ферромагнетика
шое поле однородно (В (г) = В, А = (0, Вх, 0)), и это уравнение
it простое решение. Если ось z параллельна В, то
:(0 =v±sin (Ш + ф), vy(i) = l>xcos (Qi + ф), vz(t) = const. (4)
3 = | e | ВI me — циклотронная частота; т — эффективная масса 1трона проводимости; v± = vxz + i?/; ф — фазовая характеристика. В случае ферромагнетика с доменной структурой магнитное поле В (г) рлвенно неоднородно. Рассмотрим одиночную 180-градуспую домен-I границу. Ее шириной б обычно можно пренебречь по сравнению с [ютронным радиусом. Если теперь ось х выберем перпендикулярной ости границы, ось у — лежащей в плоскости границы, z — парал-вой легкой оси ферромагнетика, то магнитное поле в образце В(х) = А = (0, 5|ж|, 0). В этом случае уравнения (2) тоже могут 1ь решены. В каждом домене при х > 0 и х < 0 получаем решения, гачные (4). Сшивая решения уравнения (2) для соседних доменов |якех = 0 для электронов, пересекающих доменную границу [7], шь кн компоненты скорости v И в виде кусочной функции. Разложение 1в ряд Фурье имеет вид
| (5) |
•sinГ (2ге+1) —(Ш + ср) 1,
L 2a J
V г (t) = COnst.
шшенты скорости vC^y электронов, связанных с границей — периодн-.? функции с периодом Т = 4а / £2, отличным от периода циклотрон-I прецессии в однородном магнитном поле. Параметр а определяется шием импульса электрона в точке х = О (Ру = Р± cos а) и равен поло-i дуги, которую электрон проходит в однородном магнитном поле между двумя последовательными прохождениями через
|Таким образом, в данной задаче рассматриваются два типа ^лектронов,
вепие которых в образце описывается выражениями (4) и (5). Если
роны, пересекающие доменную границу и проявляющие новую пе-
,,ганость движения, занимают некоторый объем фазового простран-
ia Г1; то для проводимости ферромагнетика с доменной структурой по-
16*
Ю. В. Захаров, Ю. И. Маньков, Р. Г. Хлсбодрос
| лучаем |
— ехр [-«(— + ш)]-
| J |
Электроны проводимости в магнитном поле могут быть охарактг ваны двумя величинами размерности времени. Это период движг время релаксации. Если электрон между двумя последовательными i новениями не проходит несколько раз через границу и, следоватс не проявляет новую периодичность движения, то нет основания отнм его к электронам из Г(. Принадлежность электрона к Г, определи неравенством т>71=4к/Й. Отсюда можно определить для а, грая; значение: ао = г£3/4. Поскольку параметр а характеризует травки электрона, связанного с доменной границей, то можно сказать, что роны, для которых 0 ^ а ^ а0, относятся к ГЛ. При t Q 5s 4л парам равен своему предельному значению я.
Подставляя (4) и (5) в (6), переходя к перемедным интегрирошк Ф, а и интегрируя, для невырожденного газа электронов проводи /(е) = ехр {— (е — ц) /koT^}, получаем
Re о,, (со) = a0{(i-LF)G(o>, Q) + l/2LU(a0, <o)}. Здесь о0 = ne"i I w?, n — плотность электронного газа,
| - V8 (sin «о — cto cos |
| Т/л ~D |
| eB |
| G(o>,Q) = - |
| da cos2asin a |
| тй) |
Выражение для 0,;у имеет вид, аналогичный (7), только вместо функда t/ стоит
| ,5 с sin a a0,03 = ' • ——— ^а 1 + т со J a |
0,5 '
71 — Г-ГТ [I— (3t/a)
Выражение (7) записано для ферромагнетиков с шгоскопаралле;п доменной структурой; плотность границ учитывается множителем I параметре L. Произведение LF пропорционально числу электронен, занных с границей и проявляющих новую периодичность движения, довательно, первое слагаемое в (7) есть проводимость электронов, i, рые не связаны с доменной границей, второе слагаемое дает вкл,;. электронов, проявляющих новую периодичность движения. Графпкг висимости компонент тензора проводимости от частоты со приведен
Электропроводность ферромагнетиков с доменной структурой
.icoTa резонансного пика в основном определяется первым сла-и в. (7). Следовательно, зная параметры доменной структуры, по пне поглощения при циклотронном резонансе можно определить электронов в Г,.
i выражений для а^ и оот следует анизотропия проводимости в пло-I, перпендикулярной легкой оси ферромагнетика. Этот эффект це-
|
Рис. 1. Зависимость проводимости ферромагнетика с доменной структурой от частоты внешнего поля (сплошная линия). Пунктирная линия — однородно намагниченный ферромагнетик. Электрическое поле приложено в плоскости, перпендикулярной легкой оси ферромагнетика: а — перпендикулярно плоскости границы; б— в плоскости границы (R? / D = ОД; rQ = 10)
связан с доменной структурой. Наиболее четко анизотропия протея в статическом случае (oi=0), тогда формулы (7) — (9) упро-вдя:
G(0, Q) = (l + T'fi2)-1,
| оо(Дт (D + 1/ тгаа) |
x следует, что при т£2 > 1 о,, «go (TQ)-2,
ажение ох:с — обычно для проводимости в магнитном поле. Множитель }"г характеризует локализацию электронов проводимости магнитным и. Новое в выражении для ода определяется первым слагаемым в V с жителем (Ц-т2^8)"1. Такая зависимость проводимости от частоты его поля имеет место в отсутствие магнитного поля, т. е. когда нет шзации электронных траекторий. Действительно, из (5) видно, что нее по периоду значение v^ отлично от нуля, что означает отсутст-докализации электронов в направлении у. Разный характер движе-мектронов, связанных с границей, в направлениях х и у приводит изотропии проводимости.
Чаходясь поочередно в доменах с разной ориентацией намагничен-П1, электроны чувствуют за период некоторое среднее поле. В нашем ие доменной структуры это поле равно нулю. По этим причинам хол-aiiii ток электронов из 1\ равен нулю. В соседних доменах холловский электронов, не пересекающих границу, будет иметь разные знаки. мдимость в направлении z остается такой же, как и в однодоменном
Ю. В. Захаров, Ю. И. Маньков, Р. Г. Хлебопрос
В случае вырожденного газа электронов проводимости
и, как отмечалось выше, мы будем интересоваться статической щ<к 'димостью. Для разности До** между проводимостью образца с домек структурой a^j. и проводимостью одпс но намагниченного образца имеем Да«/о«= -£/? + 1№/(о0, 0)(1 + й
| Рис. 2. Сплошной линией показана зависимость Д01-Я, штриховой — До"у„ от времени свободного пробега электрона. |{:> = Dkaxx / Д0о.та, |
Здесь L = 9/?о / 2D, где Л0 — циклотрон f 0,в радиус электронов с поверхности Ф; ! Зависимость До^ от т при 0 < rQ: приведена на рис. 2 (сплошная лен : Ход кривой можно понять, если cpai. G(0, Q) и G(0, o»i). При малых т!•. < я / 2) среди электронов, связанп! границей, будут только электрон. oil > Q, что свидетельствует о бол по сравнению с однородным случаен, лизации электронов магнитным Это, в свою очередь, должно приво уменьшению проводимости, т. е. к о тельной величине До**- При увелич* в фазовом объеме Fi появляются е
ны, для которых о), < Q (ас>я/2). Из-за них проводимость < будет возрастать и До** тоже возрастает. При а0 ~ л, когда числ< ронов с o)i < Q становится больше, чем число электронов с чение Да** оказывается положительным.
Выражение для Дото/ оуу может быть получено заменой в (10) [/(я на функцию V(aa, 0), первое слагаемое в которой в основном и с ляет величину этого отношения.
Следует отметить сильную зависимость проводимости многодом) образца от времени свободного пробега электрона при 1 < ' обстоятельство связано с тем, что в указанном интервале изменев число электронов в фазовом пространстве 1\ зависит от времени ного пробега. С увеличением т (при xQ > 4л) величина До** ш слабо, а отношение
На основе аналогичных представлений о влиянии доменной стру! на проводимость ферромагнетиков Маньков [8] предпринял попьш чествепного объяснения экспериментов Семененко и Судовцева f магнитосопротивлению ферромагнитных металлов в слабых полях при низкой температуре.
Представляет интерес проследить изменение проводимости нием от доменной границы:
'-ft! + i;
Электропроводность ферромагнетиков с доменцой структурой
bK(k), E(k] —соответственно полные эллиптические интегралы пер™ и второго рода, П — эллиптический интеграл третьего рода, k — мо-шиптических интегралов, Даиы(ж) —разность между проводимостью ща с доменной структурой и проводимостью образца с однородной гниченностью в точке х, f = х I Л0. В точке х = 0 функция / ~ 2 и ПРС ионно убывает до нуля при х = 2R0. Равенство нулю / в этой точке домен иаеТ) что ПрИ х > 2RV проводимость становится однородной, равной °ЛН°1 юдимости в однодоменном образце. Следовательно, при больших т одпмость в направлении т/, в основном, определяется электронами в толщиной 4Л0. Это, по своей сути, аналогично статическому скин-иу [10].
ыше мы принимали, что толщина доменной границы равна нулю. структуры границы дает малую добавку к проводимости, пропорцио-
Таким образом, одной из причин влияния доменной структуры на про-юсть ферромагнетиков может быть появление при низкой темпера-электронов, совершающих периодическое движение в неоднородном м поле двух соседних доменов с частотой, отличной от цикло-.•(Ь'Вдй. Следствием этого в случае невырожденного газа электронов яв-i.'4'тся изменение частотной зависимости проводимости многодоменного (одптьёрмагнетика по сравнению с однородно намагниченным; в частности, отриЯормируется кривая циклотронного резонанса. Уменьшение высоты чсниЖа (увеличение ширины линии) пропорционально числу электронов, '•"Г(м;трД)ЯЕля10ЩЙх новую периодичность движения, и может быть оценено пс '•'"ф'^щндению rt/d. При #т / Z) = ОД, как на рис. 1, высота линии умень-• г-^тся на -—20%. Такая величина отношения rt I D имеет место при 4° К ii-цном феррите (В = 1700 гс, Тк = 728° К) при толщине образца 10~3 см. Заметим, что результаты нашей работы могут быть распространены. О (юррпмагттетики, поскольку, как отмечалось выше, электроны прово-
•гости is образце находятся в поле магнитной индукции. Статическая сводимость в направлении оси у также пропорциональпа отношению
•'D. Неодпородное внутреннее магнитное поле приводит к существен-. От(чу изменению проводимости многодоменных металлических ферро-гаетиков. Их сопротивление при 1 < т£3 < 4л сильно зависит от вре-"Я и свободного пробега электронов проводимости. Наличие доменной иясга нуктуры приводит к анизотропии проводимости в плоскости, перпенди-лярпой легкой оси ферромагнетика. Наблюдение эффектов, связанных щенной структурой, возможно в том случае, когда велико число элек-нов, проявляющих новую периодичность движения, а это справедливо мо при больших т (xQ > 1).
Авторы благодарны В. А. Игнатчепко за постоянный интерес к работе (енеые замечания, Г. М. Заславскому и Н. Н. Филоненко за обсуждение иьтатов.
| :тптут физики фского отделения дащи наук СССР |
Поступила в редакцию 8 декабря 1972 г.
Литература
.] I. M. W i n t e r. Phys. Rev., 124, 452, 1961.
;1 М. М. Ф а р з т д и н о в, Е. Л. Т у р о в. ФММ, 29, 458, 1970.
i. Е. А. Т у р о в, А. Н. Волошине к и и. Труды X Международной конференции
Ю. В. Захаров, Ю. И. Маиьков, Р. Г. Хлебопрос
по физике низких температур, 4, ВИНИТИ, 1967, стр. 105. [А] В, П. Дякина, Н. В. В о л к е н ш т е и н. ФММ, 26, 628, 1968. [5] R. К u b о. J. Phys. Soc. Japan, 12, 570, 1957. [6] А. Я. Б л а н к, М. И. К а г а н о в. УФН, 92, 583, 1967. [7] Р. Г. М и н ц. Письма в ЖЭТФ, 9, 629, 1969. [8] Ю. И. Маньков. ФТТ, 14, 78, 1972.
[9] Е. Е. Семененко, А. М. Судовцев. ЖЭТФ, 47, 486, 1964. [10] И. М. Лифшиц, М. Я. А зб е л ь, М. И. Каганов. Электронная теорн таллов, «Наука», 1971, стр. 251.
ELECTRIC CONDUCTIVITY OF FERROMAGNETS WITH A DOMAIN STRUCTURE
Yu. V. Zakharov, Yu. f. Mankov, R. G. Khlebopros
The effect of an inhomogeneous internal magnetic field of ferromagnetsj a domain structure on their conductivity is determined. The change in the conduil with respect to the homogeneous case is determined in the mean free time a mation at low temperatures. An anisotropy of conductivity is observed in a plai pendicular to the easy axis of the ferromagnet. The influence of domain structtf conductivity is related to the presence of a group of electrons near the domain? which execute periodic movement in the field of two neighboring domains, tk quency differing from the cyclotron value.