Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

План-конспект занятий.

Дата 18.04.2020

Тема: «Подсчет углов»

 

1. Вписанные и центральные углы.

2. Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими.

3. Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью.

4. Задачи.

 

 

Вписанные и центральные углы

Определение 1. Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами (рис. 1).

Рис. 1

Определение 2. Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами (рис. 2).

Рис. 2

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3. Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Фигура	Рисунок	Теорема
Вписанный угол		Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Посмотреть доказательство
Вписанный угол		Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный угол		Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный угол		Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180°, если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный угол		Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника		Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около этого треугольника окружности. Посмотреть доказательство

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура	Рисунок	Теорема	Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами		Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами. Посмотреть доказательство
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга		Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания		Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами Посмотреть доказательство
Угол, образованный касательной и секущей		Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство
Угол, образованный двумя касательными к окружности		Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами Посмотреть доказательство

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).

Рис. 5

Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Рис. 6

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Рис. 7

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC, DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Нас интересует величина угла BAC, образованного касательной AB и хордой AC. Поскольку AD – диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис. 11

Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6. Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12

Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

α = π – γ.

Далее получаем

что и требовалось доказать.

 

 

Задачи

1. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О —

центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла,

равна 100°.

 

2. Биссектрисы углов A и D па рал ле ло грам ма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне

BC. Най ди те BC, если AB = 34

 

3. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке

M. Най ди те MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.

 

4. В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно.

Най ди те угол между вы со той ВН и бис сек три сой BD.

 

В занятии использованы материалы https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm

Больше задач здесь https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=57