Тема 11. Векторная алгебра.




Вектор, виды векторов. Операции над векторами. Системы векто­ров. Линейная независимость векторов. Базис. Скалярное произведение векторов и его свойства. N-мерное линейное векторное пространство. Линейные операторы. Матрицы. Операции над матрицами. Определите­ли и их свойства. Ранг матрицы. Обратная матрица. Комплексные числа и многочлены. Собственные числа и векторы линейных операторов и матриц. Евклидово пространство. Квадратичные формы.

Тема 12. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоско­сти и в трехмерном пространстве.

Уравнение линии. Прямая линия на плоскости и в пространстве: формы записи уравнений прямой. Уравнение плоскости. Угол между дву­мя прямыми, прямой и плоскостью, двумя плоскостями. Условия парал­лельности и перпендикулярности прямых, прямой и плоскости, плоско­стей. Расстояние от точки до прямой. Линии второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Их канонические уравнения и графики.

Тема 13. Системы линейных алгебраических уравнений.

Решение системы уравнений. Векторная запись системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместности и число решений. Методы решения системы линейных алгебраических уравнений: метод Гаусса, формулы Крамера.

Тема 14. Основы математического программирования.

Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации. Основные определения и задачи линейного программирования. Симп­лексный метод. Теория двойственности. Дискретное программирование: постановка задачи и метод решения. Динамическое программирование: постановка задачи и метод решения. Нелинейное программирование: общая постановка задачи, классификация задач, метод множителей Лагранжа, поиск решения при безусловной оптимизации.

Раздел III. Теория вероятностей

 

Тема 15. События и их вероятности.

Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основ­ные понятия теории вероятностей: случайные события и их классифика­ция, различные определения вероятности случайного события. Вероят­ностное пространство. Элементы комбинаторики. Основные теоремы о сложении и умножении вероятностей. Гипотезы. Формула полной веро­ятности и формула Байеса. Серии испытаний: схема и формула Бернулли, формула Пуассона. Простейший поток событий.

Тема 16. Случайные величины и способы их описания.

Дискретные случайные величины. Закон распределения. Число­вые характеристики (математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение). Непрерывные случайные величины. Функция и плотность распределения, их свойства. Числовые характеристики и их свойства. Модели законов распределения вероятностей случайных ве­личин, наиболее употребляемые в социально-экономических приложени­ях. Закон распределения вероятностей для функций от известных случай­ных величин.

Тема 17. Закон больших чисел.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная теорема.

Тема 18. Цепи Маркова.

Понятие цепи Маркова. Характеристики цепи Маркова. Исполь­зование цепей Маркова в моделировании социально-экономических про­цессов.

Тема 19. Элементы математической статистики.

Генеральная и выборочная совокупности, их среднее и дисперсия. Статистическое оценивание. Элементы дисперсионного анализа. Про­верка статистических гипотез. Статистические методы обработки экспе­риментальных данных.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Вариант контрольной работы по математике содержит 11 заданий. Номера задач своего варианта контрольной работы студент должен выбирать последовательно в соответствии с буквами своих фамилии, имени и отчества согласно таблице выбора варианта, приведенной ниже:

Таблица выбора варианта

 

Буквы фамилии, имени, отчества Номера задач варианта контрольной работы
А, Б, В
Г, Д, Е, Ё
Ж, З, И, Й
К
Л, М
Н, О
П, Р
С, Т, У
Ф, Х, Ц, Ч
Ш, Щ, Ы, Ь, Ъ, Э, Ю, Я

 

Например, студент Ильин Петр Алексеевич. Первая буква – “И”. Смотрим строку таблицы для буквы “И”. В столбце “1” для этой строки стоит число “3”, значит в первом задании студент П.А. Ильин должен решить задачу № 3. Вторая буква – “Л”. Смотрим строку таблицы для буквы “Л”. На пересечении столбца “2” и этой строки стоит число “15”, значит номер задачи из второго задания, соответствующий варианту данного студента – № 15 и т.д.

В результате выбора получим, что вариант контрольной работы студента Ильина П.А. содержит следующие номера задач: 3, 15, 30, 33, 46, 57, 62, 78, 89, 91, 105.

Варианты контрольной работы

Задание 1. Заданы два множества А и В (см. табл. 1). Определить множества А Υ В; А I В; А \ В; В \ А.

Т а б л и ц а 1

Номер задачи Множество А Множество В
{1; 5; 7; 11} {5; 9; 11; 15}
{1; 3; 5; 7; 11} {3; 5; 9}
{2; 4; 6; 8} {1; 2; 3; 4}
{2; 6; 10; 14} {4; 6; 10; 12}
{0; 4; 8; 12} {4; 8; 12; 16}
{1; 3; 7; 9} {3; 5; 9; 15; 23}
{2; 4; 8; 12} {4; 6; 8}
{1; 5; 9; 11} {2; 3; 4; 5; 6}
{2; 4; 8; 16} {3; 4; 8; 10; 20}
{1; 3; 6; 10} {3; 4; 5; 6}

Задание 2. По данным промежуткам X Υ Y; X I Y; X и Y (см. табл. 2) определить X \ Y; Y \ X.

Т а б л и ц а 2

 

Номер задачи Х Y
(0; 2) [1; 4]
(0; 3) (3; 5)
(0; 3) (1; 4]
[0; 2) [1; + )
[2; + ) (1; 5]
(-3; -1] [-2; 1)
[-4; -1) (- ; -2]
(- ; 0] (-1; + )
[-1; 1] (0; 10)
(-2; 2] [-2; 3]

Задание 3. Решить, пользуясь формулами Крамера и методом Гаусса, систему линейных алгебраических уравнений (см. табл. 3):

 

Т а б л и ц а 3

 

Номер задания Система уравнений Номер задания Система уравнений

 

Задание 4. Даны координаты вершин треугольника АВС (см. табл. 4). Найти: а) длину стороны АВ; б) внутренний угол А в радианах с точностью до двух знаков после запятой; в) уравнения медианы СМ и высоты СК; г) площадь треугольника. Сделать чертеж.

 

Т а б л и ц а 4

 

Номер задачи А В С
(-8; - 3) ( 4; -12) ( 8; 10)
(-5; 7) ( 7; -2) ( 11; 20)
(-12; -1) ( 0; -10) ( 4; 12)
(-10; 9) ( 2; 0) ( 6; 22)
( 0; 2) ( 12; -7) ( 16; 15)
(-9; 6) ( 3; -3) ( 7; 19)
( 1; 0) ( 13; -9) ( 17; 13)
(-4; 10) ( 8; 1) ( 12; 23)
( 2; 5) ( 14; -4) ( 18; 18)
(-1; 4) ( 11; -5) ( 15; 17)

Задание 5. Найти (см. табл. 5) при различных заданных в таблице значениях а.

Т а б л и ц а 5

Номер задачи y a
2; 3; ∞
0; 2; ∞
3; -3; ∞
-3; -2; ∞
2; 4; ∞
2; 5; ∞
1; -4; ∞
5; -5; ∞
-2; 1; ∞
-2; -1; ∞

Задание 6. Исследовать функцию y = f(x) (см. табл. 6) и построить ее график.

Т а б л и ц а 6

Номер задачи f(x)

 

Задание 7. Вычислить следующие интегралы (см. табл. 7). Для неопределенных интегралов результаты проверить дифференцированием.

Т а б л и ц а 7

 

Номер задачи А Б В

 

Задание 8. Найти общее решение дифференциального уравнения и его частное решение (решение задачи Коши), удовлетворяющее начальному условию y(x0) = y0(см. табл. 8).

Т а б л и ц а 8

Номер задачи Уравнение x0 y0
0,5p
-1 1,5
1,2
p p

 

Задание 9. В следующих задачах (см. табл. 9) вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=f1(x) и y=f2(x). Сделать чертеж.

Т а б л и ц а 9

Номер задачи y =f1( x ) y = f2( x )
y = 4 – x2 y = x2 – 2x
y = 2x – x2 + 3 y = x2 – 4x + 3
y = 0,25 x2 y = 3x – 0,25 x2
y = x2 – 2x + 2 y = 6xx2 + 12
xy = 2 x + 2y = 5
xy = 8 x + y – 9 = 0
y 2 = x + 4 y = x – 2
xy = 5 x + y = 6
xy = -2 y = x – 3
y = (x + 1)2 y 2 = x + 1

Задание 10. В следующих задачах (см. табл. 10) найти вероятность события методами комбинаторики.

Т а б л и ц а 10

Номер задачи Условие задачи
Из урны, содержащей 3 красных, 4 синих и 2 зеленых шара, берут наугад 2 шара. Какова вероятность того, что взятые шары окажутся одного цвета?
Из колоды в 32 карты наугад берут три карты. Найти вероятность того, что не менее двух карт будут иметь одинаковую масть
Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что 2 очка не выпадут ни на одной кости
В урне лежат 8 занумерованных шаров. Наугад берут 4 шара. Найти вероятность того, что среди взятых шаров 3 будут иметь четные номера
Из колоды в 52 карты наугад берут 4 карты. Какова вероятность того, что среди взятых карт окажется не менее двух тузов?
В лотерее разыгрывается 30 билетов, среди которых 3 выигрышных. Какова вероятность получить более одного выигрышного билета, взяв наудачу 4 билета?
Имеются 4 ящика, в которые наугад бросают шарики. Всего шариков 4. Какова вероятность того, что все шарики окажутся в одном ящике?
6 студентов условились ехать в одном электропоезде, но не договорились о вагоне. Какова вероятность того, что все поедут в одном вагоне, если в поезде 10 вагонов?
Из партии в 100 деталей, содержащих 5% брака, берут для проверки 5 деталей. Партия принимается, если среди проверяемых деталей окажется не более одной бракованной. Найти вероятность приема партии
Из ящика, в котором лежат 3 красных, 5 зеленых и 5 синих шаров, наугад берут 3 шара. Какова вероятность того, что взятые шары не будут одного цвета?

Задание 11. Найти вероятность заданного события (см. табл. 11).

 

Т а б л и ц а 11

Номер задачи Условие задачи
Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят
  от их местоположения и равны соответственно 0,7, 0,5 и 0,3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равны: для первой кассы – 0,6, для второй – 0,2 и для третьей – 0,2. Пассажир подошел к одной из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса
Имеется три ящика с подарочными наборами двух типов. В первом из них 15 наборов первого типа и 5 наборов второго типа, во втором – по десять наборов каждого типа, а в третьем – все 20 наборов – первого типа. Из наугад выбранного ящика извлекается один набор. Он оказался первого типа. Какова вероятность того, что этот набор извлечен из третьего ящика?
В коробке находится 6 новых и 4 старых (игранных) теннисных мяча. Из ящика наугад вынимают два мяча, которыми играют, после чего их возвращают обратно в коробку. Через некоторое время из коробки вновь наугад берут для игры два мяча. Какова вероятность того, что оба мяча окажутся новыми (неигранными)?
В экзаменационной программе 40 вопросов. Из них составлены билеты, в каждом из которых – два вопроса. Студент знает ответы на 30 вопросов. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос билета и на один дополнительный вопрос из экзаменационной программы по выбору преподавателя
На сборочном конвейере проходят сборку три изделия. К очередному перерыву в работе конвейера каждое из этих изделий может быть снято с конвейера с одинаковой вероятностью 0,4, и с вероятностью 0,5 на конвейер может поступить на сборку новое изделие. Найти вероятность того, что после перерыва на конвейере по-прежнему будет три изделия
Прибор состоит из двух элементов, исправность каждого из которых необходима для работы прибора в целом. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,8, а второго – 0,9. При включении прибора он вышел из строя. Найти вероятность того, что при этом вышел из строя только первый элемент
У рыбака есть три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Если он закидывает удочку на первом месте, вероятность поймать рыбу равна 0,6, на втором – 0,4, а на третьем – 0,7. Известно, что, придя на рыбалку, он трижды забрасывал удочку и поймал только одну рыбу. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте
В магазин “Фрукты” груши поставляют три агрофирмы в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандарт составляет 90%, второй – 85%, а третьей – 75%. Найти вероятность того, что стандартная груша, приобретенная покупателем, поступила от третьей фирмы
Три стрелка одновременно выстрелили по мишени. При этом две пули попали в мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок попал в мишень, если известно, что вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4
Страховая компания разделяет застрахованных на три группы: малого, среднего и большого риска. Среди ее клиентов 50% принадлежат к группе малого риска, 30% – к группе среднего риска и 20% – к группе большого риска. Возникновение страхового случая (необходимости выплатить страховое возмещение) наступает для группы малого риска с вероятностью 0,01, для группы среднего риска – с вероятностью 0,03 и для группы большого риска – с вероятностью 0,08. Какова вероятность того, что застрахованный, получивший страховое возмещение, относится к группе малого риска?

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!