Прямоугольные координаты - x, y, z .

ПРАКТИКУМ

По теме «Тройной интеграл»

Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области D V_i с постоянной плотностью f ()

m = lim f () D V_i º = (1)

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат.

Прямоугольные координаты - x, y, z.

1. V - прямоугольный параллепипед (a x b, c y d, p z q), тогда

 

J = f(x,y,z) dx dy dz = dx dy f(x,y,z) dz (2)

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменныерассматриваются как константы. Возможен любой порядок интегрирования по х, у, z.

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z₁(x,y), z = z₂(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a x b, y₁(x) y y₂(x), тогда

J = f(x,y,z)dx dy dz = dxdy f(x,y,z) dz =

= dx dy f(x,y,z) dz (3)

При f(x,y,z) = 1 интеграл определяет объем бруса.

 

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z = 0, z = x² + y², y = x, y + x = 2, y = 0

Решение.

z = 0 (степень 1, нет y, z) плоскость координатная xOy (низ)

 

z = x² + y² (степени 1, 2) параболоид вращения (верх)

 

y = x (степень 1, нет z) плоскость через Oz (стенка)

 

y + x = 2 (степень 1, нет z) плоскость || Oz (стенка)

 

y = 0 (степень 1, нет x, z) плоскость координатная xOz (стенка)

V = dx dy dz = dxdy dz, J₁ = dz = x² + y²

D: y = x, y + x = 2, y = 0

Точки пересечения линий

(1;1), (2;0), (0;0)

Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y 1,

а движение по коридору от y = x до y + x = 2. D: 0 y 1, y x 2 – y

V = , J₂ = = [y²x + x³/3] |_y^{2 – y} =

= 1/3 [ -7y³ + 12y² – 12y + 8 ], V = 1/3 [-7y³ + 12y² – 12y + 8] dy =

= 1/3 [-7y⁴/4 + 12y³/3 – 12y²/2 + 8y] |₀¹ = 17/12 куб. ед.

 

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

z = 10x, z = 0, x² + y² = 4, y = , y = 0

Решение.

z = 0 (степени1,нет y,x) плоскость координатная xOy (низ)

 

z = 10x (степени 1, нет у) плоскость через Оу (верх)

 

x² + y² = 4 (степени 2, нет z) круговой цилиндр || Oz (стенка)

 

y = или у² = 3х (степени 1, 2, нет z) параболический цилиндр || Oz (стенка)

 

у = 0 (степени 1, нет х,z) плоскость координатная zOх (стенка)

 

 

V = dx dy dz = dxdy dz, J₁ = dz = 10x,

 

D: x² + y² = 4, у² = 3х, у = 0

Точки пересечения линий

(2;0), (0;0), (1; )

Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y ,

а движение по коридору от у² = 3х до x² + y² = 4,

D: 0 y , y²/3 x

V = , J₂ = = 5 [ 4 – y² – y⁴ /9 ],

V = 5 [ 4 – y² – y⁴ /9 ] dy = 5 [ 4y – y³/3 – y⁵/45 ] = куб.ед.

Задачи для самостоятельного решения

Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1) x + y + z = 8, y = x, z = 0, y = 3; 2) y = 6 , y = , z = 0, x + z = 3.

3) y = 6 , y = , z = 0, x + z = 3; 4) x² + y² = 8, x = , x = 0, z = 30y/11, z = 0.

5) x + y = 4, x = , z = 3x/5, z = 0; 6) x + y = 6, y = , z = 4y, z = 0.

 

Пример 3. Вычислить тройной интеграл

J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z = , z = 0.

Решение.

y = x (степень 1, нет z) плоскость через Oz (стенка)

 

у = 0 (степени 1, нет х, z) плоскость координатная zOх (стенка)

 

x = 1 (степень 1, нет y, z) плоскость || yOz (стенка)

 

z = или z² = xy (степень 2) сечения x = const, y = const – параболы (верх)

z = 0 (степени 1, нет y, x) плоскость координатная xOy (низ)

J = (27 + 54y³) dx dy dz = (27 + 54y³) dxdy dz, J₁ = dz =

D: y = x, y = 0, x = 1

Точки пересечения линий

(0;0), (1;0), (1;1)

Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оy, его ширина 0 x 1,

а движение по коридору от у = 0 до y = x D: 0 x 1, 0 y x

J = , J₂ = = (7x² + 6x⁴),

J = (7x² + 6x⁴) dx = [ 7x³/3 + 6x⁵/5 ] |₀¹ = 106/35

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J = , где : y = 15x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.

2) J = , где : z = 10y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

3) J = , где : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

4) J = , где : x = 0, y = 1, y = x, z = 0, z = 1.

5) J = , где : x + y + z = 1, x ³ 0, y ³ 0, z ³ 0.

6) J = , где : x = 0, y = 0, y = 2, z = 2, z = x².

7) J = , где : y = 4, z = 4 – x².

8) J = , где : x + y + z = 2, x + y – z = 0, x = 0, y = 0.