Примеры заданий, предлагаемых на вступительном испытании по математике в форме собеседования

Приложение 1.

Перечень теоретических вопросов для подготовки к вступительному испытанию по математике в форме собеседования

1. Свойства степени с действительным показателем.

2. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода к новому основанию.

3. Свойства логарифмов.

4. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.

5. Таблица значений тригонометрических функций основных углов.

6. Формулы сложения: синус суммы и разности, косинус суммы и разности, тангенс суммы и разности.

7. Формулы: синус двойного угла, косинус двойного угла, тангенс двойного угла.

8. Основное тригонометрическое тождество. Произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента. Зависимость между тангенсом и косинусом одного и того же аргумента. Зависимость между котангенсом и синусом одного и того же аргумента.

9. Определение процента. Основные задачи на проценты: как найти процент от числа; как найти число по его проценту?

10. Правила выполнения действий с арифметическими дробями.

11. Формулы сокращенного умножения.

12. Формулы для вычисления площади треугольника.

13. Формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции и круга.

14. Формулы для вычисления объемов призмы, пирамиды, цилиндра и шара.

 

 

Приложение 2.

Перечень вопросов, используемых при составлении задач

К вступительному испытанию по математике в форме собеседования

1. Арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями.

2. Тождественные преобразования рациональных выражений: разложение на множители; сокращение дробей; сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей.

3. Действия со степенями: произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями; возведение степени в степень; возведение в степень произведения и частного.

4. Действия с корнями: корень из произведения и произведение корней; корень из частного и частное корней; корень из степени и степень корня.

5. Действия с логарифмами: сложение и вычитание логарифмов; переход от одного основания логарифма к другому; основное логарифмическое тождество.

6. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

7. Упрощение тригонометрических выражений: применение формул приведения; применение формул сложения.

8. Решение рациональных уравнений: линейные уравнения; квадратные уравнения; дробно-рациональные уравнения.

9. Решение рациональных неравенств: линейные неравенства; квадратные неравенства; дробно-рациональные неравенства

10. Решение систем рациональных уравнений.

11. Решение иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.

12. Решение показательных и логарифмических неравенств.

13. Решение прямоугольного треугольника.

14. Геометрические фигуры и их свойства, измерение геометрических величин.

Приложение 3.

Примеры заданий, предлагаемых на вступительном испытании по математике в форме собеседования

1. Выполнить действия с дробями:

а) , б) , в) .

2. Вычислить:

а) , б) , в) , г) .

3. Представить в виде .

4. Вычислить:

а) , б) , в) .

5. В прямоугольном треугольнике АВС, катет АВ равен 3, катет ВС равен 4, найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла А.

6. Дано Найти .

7. Пользуясь формулами тригонометрических функций суммы и разности углов найти .

8. Упростите выражение:

а) , б) , в) .

9. Решить уравнения, сделать проверку найденного решения:

а) , б) , в) .

10. Решить уравнение .

11. Решить неравенства:

а) , б) , в) . г).

12. Разложить на множители:

а) , б) , в) .

13. Сократить дроби:

а) , б) , в) .

14. Упростите выражение: .

15. Решить системы уравнений, сделать проверку:

а) б) в)

16. Решить уравнения:

а) , б) , в) .

17. Решите неравенство:

а) , б) , в) ; г) . д). .

е). .

18. Грибы при сушке теряют 80% своей массы. Сколько нужно взять свежих грибов, чтобы получить 1 кг сушеных.

19. Пять килограммов 35% раствора кислоты смешали с семью килограммами 65% раствора кислоты. Определите концентрацию полученного раствора кислоты.

20. Дан прямоугольный треугольник с прямым углом . Через центр вписанной в треугольник окружности проведен луч , пересекающий катет в точке . Известно, что . Найдите гипотенузу.

21. Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Найдите градусную меру угла , где - центр окружности, описанной около треугольника .

22. Основание прямой призмы - треугольник , в котором . Угол между плоскостями и равен . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

23. Прямая пересекает окружности цилиндра в точках и и наклонена к плоскости основания под углом . Плоскость, содержащая прямую , параллельна оси цилиндра и удалена от этой оси на расстояние 5. Найдите высоту цилиндра, если радиус ее основания равен 13.

24. Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1ч. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

25. Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил эту работу за 6 часов, второй за 4 ч, так как изготовлял в час на 14 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил второй рабочий.

 

 

Председатель предметной комиссии, к.т.н., доцент   Заведующий кафедрой высшей математики, к.ф.-м. н., доцент

Белянина А.Ю.       Микрюкова О.И.

Приложение 4.

Демонстрационный вариант билета для вступительного испытания по математике в форме собеседования

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

 

“ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”

 

«УТВЕРЖДАЮ» Председатель приемной комиссии,   ректор ВоГТУ   __________________ Соколов Л.И.   «_ _ »______________2012 г.

 

 

БИЛЕТЫНА вступительном экзамене ПО МАТЕМАТИКЕ

в форме собеседования

 

ВАРИАНТ № 1

1. Свойства степени с действительным показателем. (2 балла)

2. Вычислите: . (2 балла)

3. Вычислите: . (2 балла)

4. Вычислите: . (2 балла)

5. Решить уравнение: . (2 балла)

6. Цена на товар была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену? (3 балла)

7. Найти , если , . (3 балла)

8. Решите уравнение . (3 балла)

9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты АH и BD пересекаются в точке К, причем АК = 10 и HК = 8. Найдите площадь треугольника АBС. (4 балла)

10. Два велосипедиста отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. (4 балла)

Председатель предметной комиссии по математике, к.т.н., доцент

Белянина А.Ю.

Приложение 5.

Образец выполнения экзаменационных заданий из демонстрационного варианта для вступительных испытаний по математике в форме собеседования

1. Свойства степени с действительным показателем. (2 балла)

Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Все формулы записаны верно.
Допущены ошибки в написании формул
Остальные случаи

 

2. Вычислите . (2 балла)

Образец возможного решения
Представим и, используя свойства степени с рациональным показателем, запишем искомое выражение: . Ответ: -64.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения.
Решение неверно или отсутствует

 

3. Вычислите . (2 балла)

Образец возможного решения
В данном случае воспользуемся основным логарифмическим тождеством , получим . Ответ: 4.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения.
Решение неверно или отсутствует

 

4. Вычислите: . (2 балла)

Образец возможного решения
Выполним решение по действиям: 1) ; 2) . Ответ: 7.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения.
Решение неверно или отсутствует

 

5. Решить уравнение: . (2 балла)

Образец возможного решения
, , , , . Ответ: 5.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения.
Решение неверно или отсутствует

 

6. Цена на товар была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену? (3 балла)

 

Образец возможного решения
Пусть A –первоначальная цена товара. Процент – это сотая часть от числа. Тогда, после понижения на 20%, товар стал стоить . Примем полученное за 100%, тогда A – это x %. Составим пропорцию и найдем : . Тогда 125%-100% =25% и есть искомое число процентов. Ответ:25%.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения.
Ход решения верен, но задача не доведена до конца
Решение неверно или отсутствует

 

7. Найти , если , . (3 балла)

Образец возможного решения
1) Так как , то . 2) Тогда . Ответ: -3.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения.
Ход решения верен, но задача не доведена до конца.
Решение неверно или отсутствует

 

8. Решите уравнение . (3 балла)

 

Образец возможного решения
1) Возведем обе части равенства в квадрат: . Получим . 2) Решаем квадратное уравнение: 3) Проверяем, какие из корней квадратного уравнения являются и корнями иррационального уравнения: Ответ: .
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. Получен ответ, содержащий посторонний корень.
Ход решения верен, но задача не доведена до конца.
Решение неверно или отсутствует

 

9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты АH и BD пересекаются в точке К, причем АК = 10 и HК = 8. Найдите площадь треугольника АBС. (4 балла)

Образец возможного решения
1). Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Данные треугольники являются подобными (по трем углам), значит, составим отношение сторон в этих треугольниках, лежащих против равных углов: , , . Тогда . По теореме Пифагора . 2). Пусть , тогда и . 3). Ответ: .
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки выполнены безошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки выполнены безошибочно. Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. В результате ошибки или описки возможен неверный ответ.
Приведена, в целом, верная, но неполная последовательность решения. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях, преобразованиях. Ход решения верен, но задача не доведена до конца. В результате возможен неверный ответ.
Общая идея, способ решения верные, но задача не доведена до конца.
Решение неверно или отсутствует.

 

10. Два велосипедиста отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. (4 балла)

Образец возможного решения
Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста, тогда (x+4) км/ч – скорость первого велосипедиста. Время движения первого велосипедиста ч, время движения первого велосипедиста ч. Из условия задачи известно, что первый прибыл к финишу на 4 ч раньше второго, то можно составить уравнение: . , , , . Решая квадратное уравнение, получим: , - не удовлетворяет условию задачи. Значит, x =11 км/ч- скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ: 11 км/ч.
Критерии оценки выполнения задания	Баллы
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. В результате ошибки или описки возможен неверный ответ.
Приведена, в целом, верная, но неполная последовательность решения. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях, преобразованиях. Ход решения верен, но задача не доведена до конца. В результате возможен неверный ответ.
Общая идея, способ решения верные, но задача не доведена до конца.
Решение неверно или отсутствует

 

 

Председатель предметной комиссии по математике, к.т.н., доцент

Белянина А.Ю.