Изучение зависимости сопротивления полупроводника от температуры
И определение энергии активации
Цель работы: исследование зависимости удельной проводимости полупроводника от температуры и определение ширины его запрещенной зоны (энергии активации).
Приборы и материалы: нагревательный элемент, источник питания, полупроводник, термопара, цифровой вольтметр В7-32.
Методические указания
При объединении атомов в кристаллическое тело структура энергетических уровней электронов претерпевает важные изменения. Эти изменения почти не затрагивают наиболее глубоких уровней, образующих внутренние заполненные оболочки. Зато наружные уровни коренным образом перестраиваются. Указанное различие связано с разным пространственным распределением электронов, находящихся на глубоко лежащих и на верхних энергетических уровнях. Атомы в кристалле тесно прижаты друг к другу. Волновые функции наружных электронов в существенной мере перекрываются, что приводит к обобществлению этих электронов, - они принадлежат уже не отдельным атомам, а всему кристаллу. В то же время волновые функции внутренних электронов друг с другом практически не перекрываются. Положение этих уровней в кристалле мало отличается от их положения у изолированных атомов. У одиночных атомов одного и того же элемента энергии соответствующих уровней в точности одинаковы. При сближении атомов эти энергии начинают расходиться. Вместо одного, одинакового для всех N атомов уровня, возникает N очень близких, но не совпадающих уровней энергии. Таким образом, каждый уровень изолированного атома расщепляется в кристалле на N часто расположенных уровней. Системы расщепленных уровней образуют в кристалле разрешенные энергетические зоны, разделенные запрещенными зонами (рис.1).
Проводимость кристаллов определяется распределением электронов по уровням. В диэлектриках электроны доверху заполняют последнюю из занятых зон (так называемую валентную зону). Следующая разрешенная зона (зона проводимости) не содержит электронов (рис. 2, а), где Ес - уровень энергии, соответствующий дну зоны проводимости; Ев - верхний уровень валентной зоны. Ширина запрещенной зоны, разделяющей валентную зону и зону 
проводимости, велика (свыше 3 эВ), и электроны в обычных условиях не могут ее «перепрыгнуть». Недостаточной оказывается и энергия электрического поля вплоть до пробоя диэлектрика. В металлах электроны лишь частично заполняют последнюю из занимаемых зон, и в ней имеются свободные состояния (рис. 2,б). В присутствии электрического поля электронам сообщается дополнительная энергия, достаточная для их перевода на эти свободные состоятся. Такой кристалл будет проводить ток. К полупроводникам относятся вещества, имеющие, в отличие от диэлектриков, небольшую ширину запрещенной зоны δE (до 2 эВ). В собственных полупроводниках (без примесей) для переброса электронов из занятой валентной зоны в зону проводимости необходима энергия активации, равная ширине запрещенной зоны. Эта энергия может быть получена за счет увеличения теплового движения электронов, либо при наложении внешнего электрического поля. Величина проводимости в собственных полупроводниках определяется равным числом электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Число электронов в зоне проводимости равно произведению числа имеющихся уровней энергии на вероятность их заполнения. Вероятность заполнения уровней подчиняется распределению Ферми-Дирака:
(1)
где E - энергия уровня; k - постоянная Больцмана; Т - температура; EF - энергия Ферми. При Т = О К уровень Ферми определяет уровень энергии, вероятность заполнения которого f(Е) = 0,5. Для металлов это уровень энергии, отделяющий заполненную электронами зону от зоны свободных состояний. В собственных полупроводниках он расположен вблизи середины запрещенной зоны (рис. 2). При обычных температурах величина k∙Т << Е – EF, тогда
(2)
При этом электронами занимаются главным образом уровни, находящиеся у дна зоны проводимости, так что качестве энергии Е в формулу (2) можно подставить энергию Ес, соответствующую дну зоны проводимости. Вместо полного числа уровней в зоне следует принимать некоторое эффективное их число Nэфф вблизи дна зоны. Таким образом, концентрация электронов в зоне проводимости будет равна:
(3)
Аналогично можно получить, что концентрация дырок в валентной зоне равна:
(4)
Перемножая формулы (3) и (4) и принимая во внимание, что nэ = nД = n, получим:
(5)
Разность EC – EB = δE – ширина запрещенной зоны. Обозначим 
тогда, извлекая квадратный корень из выражения (5), получим:
(6)
Определим проводимость δ полупроводника. Плотность тока равна:
(7)
где е - элементарный заряд, 
и 
– средние скорости упорядоченного движения электронов и дырок соответственно. С другой стороны:
j = δ∙E (8)
где Е - напряженность электрического поля, δ -удельная электропроводность. Подставляя (8) в (7), находим:
(9)
где 
и 
– подвижности электронов и дырок. Учитывая, что nэ = nД = n, и выражение (6), получим:
(10)
или
(11)
Так как удельное сопротивление полупроводника 
, то зависимость его сопротивления от температуры можно представить в виде:
(12)
Если в состав химически чистого полупроводника ввести нужные (донорные или акцепторные) примеси, то можно получить полупроводники либо только с электронным типом проводимости (n-полупроводники), либо только с дырочным (р-полупроводники). Это связано с появлением в запрещенной зоне соответственно донорных или акцепторных уровней (рис. 3).
Величины δEd и δЕа носят название энергии активации доноров и акцепторов. Их значения меньше ширины запрещенной зоны. Логарифмируя выражение (12), получим уравнение:
(13)
Это уравнение является уравнением прямой линии в координатах 
, по углу наклона которой можно определить энергию активации δЕ.
Рис. 3.
Описание установки
Схема установки приведена на рис. 4. Нагрев образца осуществляется спиралью из низкоомной проволоки, внутри которой помещен полупроводниковый образец и термопара для измерения его температуры. ЭДС термопары и сопротивление образца замеряются с помощью цифрового вольтметра В7-32. В работе применена термопара типа ХА (хромель-алюмель), температурный коэффициент которой в интервале от 0°С до 90°С составляет 0.041 мВ/К. Пример расчета температуры: комнатная температура ТК = 293 К, показания вольтметра - 0.82 мВ, температура образца:
Т = 293 + 0.82/0.041 = 313К.
Порядок выполнения работы
1. Измерить сопротивление образца при комнатной температуре. Включить электронагреватель и измерять сопротивление через каждые 0.4 мВ вплоть до значений термо-ЭДС 2.2 – 2.3 мВ переключением режима работы вольтметра В7-32 из положения «U» в «R» и обратно при достижении необходимого значения термоЭДС. Температуру образца рассчитать согласно приведенному выше примеру. Результаты измерений сопротивления полупроводника и его температуры записать в таблицу.
2. По полученным данным построить график зависимости . Для проведения между экспериментальными точками на графике воспользоваться результатами расчетов параметров прямой, полученных с помощью метода наименьших квадратов.
3. Обработку результатов провести по методу наименьших квадратов, краткое описание которого приводится ниже.
4. Определить энергию активации и оценить погрешность результатов.
| № | R, Ом | T, К | Yi = lnR | Xi = 1/T |
| .. n |
Примечание. Энергию активации можно оценить менее точными расчетами. Действительно, для двух температур нагрева образца T1, и Т2 согласно уравнению (13) можно записать:
(14)
(15)
Вычитая из (14) уравнение (15) и выражая Е, получим расчетную формулу:
(16)
где Т1 и Т2 желательно выбирать отличающимися на 40 – 50 К друг от друга.