Переходные процессы в цепях второго порядка

Алгоритм расчета переходного процесса классическим методом (цепь 1-го порядка)

Для анализа переходного процесса предварительно следует привести схему к минимальному числу накопителей энергии, исключив параллельные и последовательные соединения однотипных реактивных элементов (индуктивностей или емкостей). Система интегродифференциальных уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа или методом контурных токов, может быть сведена путем подстановки к одному дифференциальному уравнению, которое используется для составления характеристического уравнения.Порядок дифференциального и характеристического уравнения зависит от числа реактивных элементов приведенной схемы.

Главная трудность в решения задачи классическим методом для уравнений высоких порядков состоит в отыскании корней характеристического уравнения и постоянных интегрирования Ак. Поэтому для решения уравнений порядка выше второго применяют другие методы, в частности операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа.

Алгоритм при применении классического метода:

1. Рассчитать принужденный (установившийся) режим при t→∞. Определить принужденные токи и напряжения.

2. Рассчитать режим до коммутации. Определить токи в ветвях с индуктивностью и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин в момент коммутации является независимыми начальными условиями.

3. Составить дифференциальные уравнения для свободного процесса (Е = 0) в схеме после коммутации по законам Кирхгофа или по методу контурных токов. Алгебраизировать данные уравнения, получить характеристическое уравнение и найти его корни. Существуют приемы, упрощающие операцию отыскания корней характеристического уравнения, например, приравнивание нулю входного операторного сопротивления цепи, которое получается путем замены в выражении комплексного сопротивления цепи множителя "jω" на оператор "р".

4. Записать общие выражения для искомых напряжений и токов в соответствии с видом корней характеристического уравнения.

5. Переписать величины, полученные в п. 4, и производные от них при t = 0.

6. Определить необходимые зависимые начальные условия, используя независимые начальные условия.

7. Подставив начальные условия в уравнения п. 5, найти постоянные интегрирования.

8. Записать законы изменения искомых токов и напряжений.

Пример расчета

Пример. Для схемы рис. 60.1 с заданными параметрами элементов: Е=100 В, R=50 Ом, R1=20 Ом, R2=30 Ом, С=83,5 мкФ, определить ток i₁ после коммутации.

1)Общий вид решения для искомой функции:

2)Определение установившейся составляющей из расчета схемы после коммутации:

3)Характеристическое уравнение и его корень:

4)Независимое начальное условие u_с(0) из расчета схемы до коммутации:

5)Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа для схемы после коммутации:

6)Начальное условие i₁(0), необходимое для определения постоянной интегрирования из уравнения (1):

7)Определение постоянной интегрирования:

8)Решение для искомой функции:

9)Графическая диаграмма искомой функции i₁(t) показана на рис. 60.2:

Переходные процессы в цепях второго порядка

Цепи второго порядка содержат два реактивных элемента; это могут быть две индуктивности, две емкости или емкость с индуктивностью. Кроме того, цепь включает некоторое количество резистивных элементов и независимых источников энергии, которые для простоты анализа будем считать стационарными. В зависимости от наличия тех или иных реактивных элементов, решение задачи следует искать или для переменной состояния i_L (t), или для u_C (t). Форма записи решения определена общей теорией:

(3.17)

(3.18)

где p₁ и p₂ - корни характеристического уравнения.

Поиск решения выполняется в той же последовательности, что и для цепей первого порядка:

1. Находят корни характеристического уравнения. Они могут быть вещественными разными и отрицательными или вещественными кратными и отрицательными или комплексно-сопряженными с отрицательной вещественной частью;

2. Из анализа цепи после коммутации определяют принужденную составляющую режима или , что можно сделать, если в цепи продолжают действовать стационарные источники питания;

3. Исследуя основные и неосновные начальные условия, находят постоянные интегрирования , или , .