Символьные операции пакета Mathcad

ЛЕКЦИЯ № 8

Mathcad: Операции с векторами и матрицами. Символьные вычисления

Операции с векторами и матрицами

Символьные вычисления

Операции с векторами и матрицами

Общее название для векторов и матриц в Mathcad — массивы. Существуют три способа создания массива:

1. Путем заполнения пустых полей. Для этого необходимо нажать Ctrl+М (либо выбрать пункт меню Insert Matrix) и в появившемся диалоговом окне выбрать размерности матрицы (если одна из них равна 1 — вектора). После нажатия кнопки «ОК» в рабочем листе Mathcad появится изображение матрицы заданной размерности с пустыми полями для числовых значений, которые далее необходимо заполнить вручную.

Изменение размерностей матриц производится с помощью того же диалогового окна (кнопки Insert и Delete), в котором указывается количество добавляемых или удаляемых строк и столбцов. Предварительно в матрице курсор устанавливают в позицию добавления или удаления.

Положение элемента в массиве характеризуется двойным индексом, например , где — номер строки, — номер столбца. Элементами массива являются, как правило, числа, но иногда и другие математические объекты, например векторы, и даже матрицы.

Доступ к отдельным элементам и строкам осуществляется при помощи клавиши «[ » нумерация столбцов и строк начинается с 0, индексы указываются через запятую в порядке «строка, столбец». Доступ к отдельному столбцу матрицы производится при помощи «верхнего индекса» сочетанием клавиш Ctrl+6.

Часто размерность массива очень велика и он становится очень громоздким для отображения, поэтому Mathcad отображает матрицы и вектора с размерностями больше девяти в виде таблиц с полосами прокрутки.

2. Используя дискретный аргумент (когда имеется явная зависимость между элементами массива и их индексами).

3. Считывая их из файлов данных.

Список функций для оперирования с массивами приведен в табл. 1.

Таблица 1

Функции для оперирования с массивами в пакете Mathcad

Имя функции	Возвращаемое значение
rows(A)	количество строк в массиве
cols(A)	количество столбцов в массиве
length(v)	длина вектора
last(v)	индекс последнего элемента вектора
max(A)	максимальный элемент массива
min(A)	минимальный элемент массива
identity(n)	единичная матрица размерности
diag(v)	диагональная матрица с элементами на диагонали
tr(M)	след матрицы (сумма диагональных элементов)

Символьные вычисления

Символьные вычисления осуществляются с помощью команд меню Symbolics на панели Math (рис. 1). В табл. 2 приведены функции основных символьных преобразований.

Рис. 1. Математическая панель для символьных вычислений

Для ряда операций следует указать переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция.

Пример 1.

1. Введите выражение sin(2*x).

2. Нажмите кнопку Expand на панели Symbolic.

3. Введите в местозаполнитель после появившегося ключевого слова Expand имя переменной x, либо удалите местозаполнитель.

4. Нажмите Enter или щелкните мышкой за пределами выражения:

.

Таблица 2

Символьные операции пакета Mathcad

Вид преобразования	Пункты меню Symbolics	Описание
Упрощение	Simplify	Упростить выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т. д.
Расширение	Expand	Раскрыть выражение (раскрываются суммы и произведения, тригонометрические функции разлагаются по тригонометрическим тождествам).
Разложение на множители	Factor	Разложить число или выражение на простые множители.
Приведение подобных слагаемых	Collect	Привести подобные слагаемые полинома.
Коэффициенты полинома	Coeffs	Определить коэффициенты полинома относительно указанной переменной.
Разложение на элементарные дроби	Partfrac	—
Разложение в ряд Тейлора	Series	—
Преобразование Лапласа	Laplace	—
Обратное преобразование Лапласа	Invlaplace	—
Преобразование Фурье	Fourier	—
Обратное преобразование Фурье	Invfourier	—

 

Символьная операция Simplify (Упростить) — одна из самых важных. Эта операция позволяет упрощать математические выражения, содержащие алгебраические и тригонометрические функции, а также выражения со степенными многочленами (полиномами). Упрощение означает замену более сложных фрагментов выражений на более простые. Приоритет тут отдается простоте функций. К примеру, функция tan(x) считается более сложной, чем функции sin(x) и cos(x). Поэтому tan(x) упрощается так, что получает представление через соотношение этих функций.

Эта команда открывает широкие возможности для упрощения сложных и плохо упорядоченных алгебраических выражений. На рис. 2 даны примеры применения операции Simplify.

Рис. 2.

Система Mathcad содержит встроенную функцию для вычисления значений определенных интегралов приближенным численным методом. Ею целесообразно пользоваться, когда нужно просто получить значение определенного интеграла в виде числа.

Однако команда Simplify применительно к вычислениям определенных интегралов делает гораздо больше — она ищет аналитическое выражение для интеграла. Более того, она способна делать это и при вычислении кратных интегралов, пределы которых — функции. Наглядный пример этому продемонстрирован на рис. 3.

Рис. 3.

Операцию Simplify можно использовать и для вычисления сумм и произведений символьных последовательностей. Результат операции, как и следовало ожидать, получается в символьной форме (если она существует) (рис. 4).

Рис. 4.

Приведенные примеры могут создать впечатление, что Mathcad лихо справляется со всеми производными, интегралами, суммами и произведениями с помощью операции Simplify. К сожалению, это далеко не так. Нередко система не справляется с кажущимися простыми справочными примерами. Надо помнить, что символьный процессор системы Mathcad обладает заметно урезанной библиотекой функций и преобразований (в сравнении с библиотекой системы Maple V). Поэтому часто система не находит решение в замкнутом виде, хотя оно и приводится в справочнике. Тогда система повторяет введенное выражение или сообщает об ошибке.

В результате преобразований могут появляться специальные функции — как встроенные в систему (функции Бесселя, гамма-функция, интеграл вероятности и др.), так и ряд функций, дополнительно определенных при загрузке символьного процессора (интегральные синус и косинус, интегралы Френеля, эллиптические интегралы и др.). Последние нельзя использовать при создании математических выражений.

Действие операции Expand (Разложить по степеням) в известном смысле противоположно действию операции Simplify. Подвергаемое преобразованию выражение расширяется с использованием известных (и введенных в символьное ядро) соотношений, например алгебраических разложений многочленов, произведений углов и т. д. Разумеется, расширение происходит только в том случае, когда его результат однозначно возможен. Иначе нельзя считать, что действие этой операции противоположно действию операции Simplify. К примеру, операция Simplify преобразует сумму квадратов синуса и косинуса в 1, тогда как обратное преобразование многозначно и потому в общем виде невыполнимо.

При преобразовании выражений операция Expand старается более простые функции представить через более сложные, свести алгебраические выражения, представленные в сжатом виде, к выражениям в развернутом виде и т. д. Примеры действия операции Expand даны на рис. 5.

Рис. 5.

Последний пример показывает, что результатом операции может быть специальная математическая функция, которая считается более сложным выражением, чем порождающее ее выражение. С виду, однако, выражения со специальными математическими функциями обычно выглядят гораздо проще, чем исходные выражения.

Операция Factor (Разложить на множители) используется для факторизации — разложения выражений или чисел на простые множители. Она способствует выявлению математической сущности выражений; к примеру, наглядно выявляет представление полинома через его действительные корни, а в том случае, когда разложение части полинома содержит комплексно-сопряженные корни, порождающее их выражение представляется квадратичным трехчленом. Примеры действия этой операции даны на рис. 6.

Рис. 6.

В большинстве случаев (но не всегда) операция факторизации ведет к упрощению выражений. Термин «факторизация » не является общепризнанным в отечественной математической литературе, но мы его оставляем в связи с созвучностью с англоязычным именем этой операции.

Операция Collect (Разложить по подвыражению) обеспечивает замену указанного выражения выражением, скомплектованным по базису указанной переменной, если такое представление возможно (рис. 7). В противном случае появляется окно с сообщением о невозможности комплектования по указанному базису.

Рис. 7.

Эта команда особенно удобна, когда заданное выражение есть функция ряда переменных и нужно представить его в виде функции заданной переменной имеющей вид степенного многочлена. При этом другие переменные входят в сомножители указанной переменной, представленной в порядке уменьшения ее степени.

Операция Polynomial Coefficients (Полиномиальные коэффициенты) служит для вычисления коэффициентов полинома. Операция применяется, если заданное выражение – полином (степенной многочлен) или может быть представлено таковым относительно выделенной переменной. Результатом операции является вектор с коэффициентами полинома (рис. 8).

Рис. 8.