На пройденную тему было задано домашнее задание:

ОТЧЕТ

О педагогической практике

в период с «1 » февраля 2013 г. по «2 » марта 2013 г.

в ТюмГУ, ИМЕНИТ

 

Выполнила магистрант II курса, гр. 25Мм 112М:

____________________________Чуракова М.Л.

 

Руководитель практики:

к.ф.-м.н., доцент

_____________________________Баринов В.А.

 

 

Тюмень – 2013

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ. 3

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.. 4

ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ.. 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22

ВВЕДЕНИЕ

Педагогическая практика заключалась в проведении занятий по дисциплине «Уравнения в частных производных» (4 часа практических занятий 22.02.2013 г. и 4 часа лекций 01.03.2013 г.). Занятия проводились со студентами группы 301 3-го курса направления «Математика».

При подготовке к занятиям изучены лекции руководителя практики В.А. Баринова, а так же получены консультации для проведения практических занятий по представленным темам.

Для углубленного изучения излагаемых тем использованы следующие источники:

1. Баринов В.А. Лекции по уравнениям математической физики. Тюмень: ТюмГУ, кафедра матем. моделирования, 2012.

2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:Наука, 1972.

3. Михлин С.Г. Курс математической физики. – СПб.: «Лань», 2002.

4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000.

5. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.:Наука, 1964.

6. Сборник задач по уравнениям математической физики./ Под ред. Владимирова В.С. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

7. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1975, 128 с.

Каждое занятие было проанализировано с руководителем практики. Выявлялись недостатки, оптимизировалась структура занятия. Результаты анализа занятия учитывались при подготовке к следующим занятиям.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ

Практические занятия были проведены 22.02.2013 г. с 13-30 до 15-00 и с 15-10 до 16-40

На практических занятиях рассмотрено решение I-ой краевой задачи для однородного волнового уравнения методом Фурье.

Студенты охотно выходили к доске, решали, почти всё получалось. Некоторые выходили по нескольку раз. Самые активные студенты получили соответствующие баллы.

Задачи, которые рассмотрены на занятиях, решались у доски:

Задача 1.

,

(1.1)

Граничные условия

(1.2)

Начальные условия

(1.3)

Решение:

Решение задачи будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной

.

(1.4)

Подставим (1.4) в уравнение (1.1)

.

Поделим полученное уравнение на произведение .

.

Левая часть этого равенства зависит только от , а правая часть зависит только от . Поэтому равенство возможно только если обе части равны одной и той же постоянной, т.е.

, , .

 

Можно показать, что при решения краевой задачи не существует.

В результате получаем систему уравнений

.

(1.5)

Решение (1.4) должно удовлетворять граничным условиям (1.2)

или .

Для определения функции получаем задачу Штурма-Лиувилля

.

Заметим, что задачу Штурма-Лиувилля можно поставить только для той функции, для которой получены нулевые граничные условия.

При уравнение, входящее в систему, имеет решение

, .

Используем граничные условия. Из первого условия получаем, что , тогда из второго следует . В данном случае , иначе существует только тривиальное решение задачи, неудовлетворяющее граничным условиям, но тогда , откуда , или

.

Следовательно,

.

Индекс «n» означает, что различным значениям n соответствуют различные решения.

Второе уравнение системы (1.5) при имеет решение

.

Подставляя полученные и в (1.4), получаем

,

где , .

В силу линейности уравнения (1.1) и граничных условий (1.2), сумма всех решений так же будет решением задачи, т.е.

,

Коэффициенты и определяются из начальных условий

Разложим функции и в ряд Фурье по

Тогда начальные условия примут вид

Сравнивая коэффициенты рядов, находим

Исходя из имеющихся начальных условий (1.3) функции и , тогда коэффициенты и

Вычислим определенный интеграл.

Распишем его для удобства на два интеграла. Вычислим каждый интеграл в отдельности.

Т.о. решение данной задачи

,

 

Задача 2.

,

(2.1)

Граничные условия

(2.2)

Начальные условия

(2.3)

Решение:

Решение задачи будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной

.

(2.4)

Подставим (2.4) в уравнение (2.1)

.

 

Поделим полученное уравнение на произведение .

.

Левая часть этого равенства зависит только от , а правая часть зависит только от . Поэтому равенство возможно только если обе части равны одной и той же постоянной, т.е.

, , .

Можно показать, что при решения краевой задачи не существует.

В результате получаем систему уравнений

.

(2.5)

Решение (1.4) должно удовлетворять граничным условиям (2.2)

или .

Для определения функции получаем задачу Штурма-Лиувилля

.

При уравнение, входящее в систему, имеет решение

, .

Используем граничные условия. Из первого условия получаем, что , тогда из второго следует . В данном случае , иначе существует только тривиальное решение задачи, неудовлетворяющее граничным условиям, но тогда , откуда , или

.

Следовательно,

.

Индекс «n» означает, что различным значениям n соответствуют различные решения.

Второе уравнение системы (2.5) при имеет решение

.

Подставляя полученные и в (2.4), получаем

,

где , .

Общее решение уравнения (2.1), удовлетворяющее граничным условиям (2.2), имеет вид

,

Коэффициенты и определяются из начальных условий

Из уравнений видно, что . Разложим функцию в ряд Фурье по

Сравнивая коэффициенты ряда, находим

Вычислим определенный интеграл.

Распишем его для удобства на два интеграла. Вычислим каждый интеграл в отдельности.

Подставим

Т.о. решение данной задачи

,

 

Задача 3.

,

(3.1)

Граничные условия

(3.2)

Начальные условия

(3.3)

Решение:

Решение задачи будем искать в виде произведения двух функций

.

(3.4)

Подставим (3.4) в уравнение (3.1)

.

 

Поделим полученное уравнение на произведение .

.

Левая часть этого равенства зависит только от , а правая часть зависит только от . Поэтому равенство возможно только если обе части равны одной и той же постоянной.

, , .

В результате получаем систему уравнений

.

(3.5)

Решение (3.4) должно удовлетворять граничным условиям (3.2)

или .

Для определения функции получаем задачу Штурма-Лиувилля

.

При уравнение, входящее в систему, имеет решение

, .

Используем граничные условия. Из первого условия получаем, что , тогда из второго следует . В данном случае , иначе существует только тривиальное решение задачи, неудовлетворяющее граничным условиям, но тогда , откуда , или

.

Следовательно,

.

Индекс «n» означает, что различным значениям n соответствуют различные решения.

Второе уравнение системы (3.5) при имеет решение

.

 

Подставляя полученные и в (3.4), получаем

,

где , .

В силу линейности уравнения (3.1) и граничных условий (3.2), сумма всех решений так же будет решением задачи, т.е.

,

Коэффициенты и определяются из начальных условий

Из уравнений видно, что . Разложим функцию в ряд Фурье по

Сравнивая коэффициенты ряда, находим

Вычислим определенный интеграл.

Распишем его для удобства на два интеграла. Вычислим каждый интеграл в отдельности.

 

Т.о. решение данной задачи

,

На пройденную тему было задано домашнее задание:

Задача 4.

,

Граничные условия

Начальные условия

Задача 5.

,

Граничные условия

Начальные условия

Задача 6.

,

Граничные условия

Начальные условия

ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ

Лекционные занятия проведены 01.03.2013 г.

На первой парах (с 13-30 до 15-00 и c 15-10 до 16-40) были рассмотрены две темы:

1. «Решение 1-ой краевой задачи для неоднородного волнового уравнения с однородными граничными условиями методом Фурье»;

2. «Решение общей 1-ой краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье».

 

ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ

Решение задачи для неоднородного волнового уравнения
с однородными граничными условиями

Пусть задано неоднородное волновое уравнение:

, ,

(1)

Граничные условия

(2)

Начальные условия

(3)

где , , – заданные функции.

Если удается найти частное решение задач (1)-(3), то искомую функцию необходимо представить в виде:

где – новая неизвестная функция, а – частное решение.

В таком случае (1)-(3) перейдет в однородную задачу с ненулевыми начальными условиями для новой неизвестной функции , и неоднородную задачу с нулевыми начальными условиями для функции . Для функции решение ищем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной. Для функции решение ищем в виде ряда по собственным функциям однородной задачи.

Случай 1.

Пусть правая часть уравнения (1) зависит только от , т.о. она имеет вид . В таком случае решение задачи будем искать в виде:

Подставим в (1):

Функцию находим из краевой задачи:

Из данного уравнения получаем:

Обозначим

Тогда из условий системы получаем:

Таким образом:

С учетом найденной функции , для функции получим задачу вида:

, ,
и

Полученная задача решается методом Фурье, рассмотренном на практическом занятии.

Случай 2.

Рассмотрим случай, когда частное решение подобрать не удается. Будем искать решение задач (1)-(3) в виде ряда по собственным функциям однородной задачи.

(4)

где – неизвестная функция

Чтобы получить уравнение для , разложим функции , , в ряд Фурье по собственным функциям однородной задачи:

	(5)
	(6)

Подставим (4), (5) в уравнение (1), получим ряд:

Отсюда получаем уравнение для :

(7)

Для определения неизвестной , получаем линейное неоднородное уравнение 2-огопорядка с постоянными коэффициентами.

Решая уравнение (7) будем искать в виде:

(8)

где – частное решение неоднородного уравнения (7), - общее решение однородного уравнения, соответствующего (7).

Решения и будем искать так, чтобы выполнялось условие:

То есть – решение неоднородного уравнения с начальными неоднородными условиями, – решение однородного уравнения с неоднородными начальными условиями. Поэтому их сумма будет решением неоднородного уравнения с неоднородными начальными условиями.

Найдем

	(9)

Находим частное решение неоднородного уравнения с помощью метода неопределенных коэффициентов, решение ищем в виде:

Нашли решение системы Лагранжа:

Найдем и :

Таким образом

(10)

Покажем, что функция (10) является решением неоднородного линейного уравнения с однородными начальными условиями. Для этого подставим в неоднородное уравнение сначала ряды (4), (5), а затем для функции получим уравнение (7) и однородные начальные условия. Чтобы найти , воспользуемся формулой Лагранжа:

формула Лагранжа:

Таким образом:

Значит решение (10) удовлетворяет неоднородному уравнению. Функция (10) и ее первая производная удовлетворяют однородным начальным условиям.

Если уравнение однородно, то получаем ранее решенную задачу. Решение , домноженное на собственную функцию является решением этой задачи => является решением однородного линейного уравнения с неоднородным начальным условием.

Тогда решение задачи (1)-(3), представленное формулой (4) примет вид:

(11)

Решение (11), записанное в виде суммы 2х рядов, имеет следующий физический смысл: 1‑й ряд описывает свободные колебания струны, 2‑й ряд описывает вынужденные колебания. За счет приложенной внешней силы с плотностью . 2-оеслагаемое в выражении (11) можно записать в виде:

	(12)

Эта функция называется функцией Грина, она описывает вынужденные колебания струны.