ОТЧЕТ
О педагогической практике
в период с «1 » февраля 2013 г. по «2 » марта 2013 г.
в ТюмГУ, ИМЕНИТ
Выполнила магистрант II курса, гр. 25Мм 112М:
____________________________Чуракова М.Л.
Руководитель практики:
к.ф.-м.н., доцент
_____________________________Баринов В.А.
Тюмень – 2013
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 3
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ.. 4
ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ.. 15
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 22
ВВЕДЕНИЕ
Педагогическая практика заключалась в проведении занятий по дисциплине «Уравнения в частных производных» (4 часа практических занятий 22.02.2013 г. и 4 часа лекций 01.03.2013 г.). Занятия проводились со студентами группы 301 3-го курса направления «Математика».
При подготовке к занятиям изучены лекции руководителя практики В.А. Баринова, а так же получены консультации для проведения практических занятий по представленным темам.
Для углубленного изучения излагаемых тем использованы следующие источники:
1. Баринов В.А. Лекции по уравнениям математической физики. Тюмень: ТюмГУ, кафедра матем. моделирования, 2012.
2. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.:Наука, 1972.
3. Михлин С.Г. Курс математической физики. – СПб.: «Лань», 2002.
4. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. – М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000.
5. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.:Наука, 1964.
6. Сборник задач по уравнениям математической физики./ Под ред. Владимирова В.С. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.
7. Смирнов М.М. Задачи по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1975, 128 с.
Каждое занятие было проанализировано с руководителем практики. Выявлялись недостатки, оптимизировалась структура занятия. Результаты анализа занятия учитывались при подготовке к следующим занятиям.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
Практические занятия были проведены 22.02.2013 г. с 13-30 до 15-00 и с 15-10 до 16-40
На практических занятиях рассмотрено решение I-ой краевой задачи для однородного волнового уравнения методом Фурье.
Студенты охотно выходили к доске, решали, почти всё получалось. Некоторые выходили по нескольку раз. Самые активные студенты получили соответствующие баллы.
Задачи, которые рассмотрены на занятиях, решались у доски:
Задача 1.
, | (1.1) |
Граничные условия
(1.2) |
Начальные условия
(1.3) |
Решение:
Решение задачи будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной
. | (1.4) |
Подставим (1.4) в уравнение (1.1)
. |
Поделим полученное уравнение на произведение .
. |
Левая часть этого равенства зависит только от , а правая часть зависит только от . Поэтому равенство возможно только если обе части равны одной и той же постоянной, т.е.
, , . |
Можно показать, что при решения краевой задачи не существует.
В результате получаем систему уравнений
. | (1.5) |
Решение (1.4) должно удовлетворять граничным условиям (1.2)
или . |
Для определения функции получаем задачу Штурма-Лиувилля
. |
Заметим, что задачу Штурма-Лиувилля можно поставить только для той функции, для которой получены нулевые граничные условия.
При уравнение, входящее в систему, имеет решение
, . |
Используем граничные условия. Из первого условия получаем, что , тогда из второго следует . В данном случае , иначе существует только тривиальное решение задачи, неудовлетворяющее граничным условиям, но тогда , откуда , или
. |
Следовательно,
. |
Индекс «n» означает, что различным значениям n соответствуют различные решения.
Второе уравнение системы (1.5) при имеет решение
. |
Подставляя полученные и в (1.4), получаем
, |
где , .
В силу линейности уравнения (1.1) и граничных условий (1.2), сумма всех решений так же будет решением задачи, т.е.
, |
Коэффициенты и определяются из начальных условий
Разложим функции и в ряд Фурье по
Тогда начальные условия примут вид
Сравнивая коэффициенты рядов, находим
Исходя из имеющихся начальных условий (1.3) функции и , тогда коэффициенты и
Вычислим определенный интеграл.
Распишем его для удобства на два интеграла. Вычислим каждый интеграл в отдельности.
Т.о. решение данной задачи
, |
Задача 2.
, | (2.1) |
Граничные условия
(2.2) |
Начальные условия
(2.3) |
Решение:
Решение задачи будем искать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной
. | (2.4) |
Подставим (2.4) в уравнение (2.1)
. |
Поделим полученное уравнение на произведение .
. |
Левая часть этого равенства зависит только от , а правая часть зависит только от . Поэтому равенство возможно только если обе части равны одной и той же постоянной, т.е.
, , . |
Можно показать, что при решения краевой задачи не существует.
В результате получаем систему уравнений
. | (2.5) |
Решение (1.4) должно удовлетворять граничным условиям (2.2)
или . |
Для определения функции получаем задачу Штурма-Лиувилля
. |
При уравнение, входящее в систему, имеет решение
, . |
Используем граничные условия. Из первого условия получаем, что , тогда из второго следует . В данном случае , иначе существует только тривиальное решение задачи, неудовлетворяющее граничным условиям, но тогда , откуда , или
. |
Следовательно,
. |
Индекс «n» означает, что различным значениям n соответствуют различные решения.
Второе уравнение системы (2.5) при имеет решение
. |
Подставляя полученные и в (2.4), получаем
, |
где , .
Общее решение уравнения (2.1), удовлетворяющее граничным условиям (2.2), имеет вид
, |
Коэффициенты и определяются из начальных условий
Из уравнений видно, что . Разложим функцию в ряд Фурье по
Сравнивая коэффициенты ряда, находим
Вычислим определенный интеграл.
Распишем его для удобства на два интеграла. Вычислим каждый интеграл в отдельности.
Подставим
Т.о. решение данной задачи
, |
Задача 3.
, | (3.1) |
Граничные условия
(3.2) |
Начальные условия
(3.3) |
Решение:
Решение задачи будем искать в виде произведения двух функций
. | (3.4) |
Подставим (3.4) в уравнение (3.1)
. |
Поделим полученное уравнение на произведение .
. |
Левая часть этого равенства зависит только от , а правая часть зависит только от . Поэтому равенство возможно только если обе части равны одной и той же постоянной.
, , . |
В результате получаем систему уравнений
. | (3.5) |
Решение (3.4) должно удовлетворять граничным условиям (3.2)
или . |
Для определения функции получаем задачу Штурма-Лиувилля
. |
При уравнение, входящее в систему, имеет решение
, . |
Используем граничные условия. Из первого условия получаем, что , тогда из второго следует . В данном случае , иначе существует только тривиальное решение задачи, неудовлетворяющее граничным условиям, но тогда , откуда , или
. |
Следовательно,
. |
Индекс «n» означает, что различным значениям n соответствуют различные решения.
Второе уравнение системы (3.5) при имеет решение
. |
Подставляя полученные и в (3.4), получаем
, |
где , .
В силу линейности уравнения (3.1) и граничных условий (3.2), сумма всех решений так же будет решением задачи, т.е.
, |
Коэффициенты и определяются из начальных условий
Из уравнений видно, что . Разложим функцию в ряд Фурье по
Сравнивая коэффициенты ряда, находим
Вычислим определенный интеграл.
Распишем его для удобства на два интеграла. Вычислим каждый интеграл в отдельности.
Т.о. решение данной задачи
, |
На пройденную тему было задано домашнее задание:
Задача 4.
, |
Граничные условия
Начальные условия
Задача 5.
, |
Граничные условия
Начальные условия
Задача 6.
, |
Граничные условия
Начальные условия
ЛЕКЦИОННЫЕ ЗАНЯТИЯ
Лекционные занятия проведены 01.03.2013 г.
На первой парах (с 13-30 до 15-00 и c 15-10 до 16-40) были рассмотрены две темы:
1. «Решение 1-ой краевой задачи для неоднородного волнового уравнения с однородными граничными условиями методом Фурье»;
2. «Решение общей 1-ой краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье».
ЛЕКЦИОННЫЙ МАТЕРИАЛ
Решение задачи для неоднородного волнового уравнения
с однородными граничными условиями
Пусть задано неоднородное волновое уравнение:
, , | (1) |
Граничные условия
(2) |
Начальные условия
(3) |
где , , – заданные функции.
Если удается найти частное решение задач (1)-(3), то искомую функцию необходимо представить в виде:
где – новая неизвестная функция, а – частное решение.
В таком случае (1)-(3) перейдет в однородную задачу с ненулевыми начальными условиями для новой неизвестной функции , и неоднородную задачу с нулевыми начальными условиями для функции . Для функции решение ищем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит от одной переменной. Для функции решение ищем в виде ряда по собственным функциям однородной задачи.
Случай 1.
Пусть правая часть уравнения (1) зависит только от , т.о. она имеет вид . В таком случае решение задачи будем искать в виде:
Подставим в (1):
Функцию находим из краевой задачи:
Из данного уравнения получаем:
Обозначим
Тогда из условий системы получаем:
Таким образом:
С учетом найденной функции , для функции получим задачу вида:
, , | |
и |
Полученная задача решается методом Фурье, рассмотренном на практическом занятии.
Случай 2.
Рассмотрим случай, когда частное решение подобрать не удается. Будем искать решение задач (1)-(3) в виде ряда по собственным функциям однородной задачи.
(4) |
где – неизвестная функция
Чтобы получить уравнение для , разложим функции , , в ряд Фурье по собственным функциям однородной задачи:
(5) | |
(6) |
Подставим (4), (5) в уравнение (1), получим ряд:
Отсюда получаем уравнение для :
(7) |
Для определения неизвестной , получаем линейное неоднородное уравнение 2-огопорядка с постоянными коэффициентами.
Решая уравнение (7) будем искать в виде:
(8) |
где – частное решение неоднородного уравнения (7), - общее решение однородного уравнения, соответствующего (7).
Решения и будем искать так, чтобы выполнялось условие:
То есть – решение неоднородного уравнения с начальными неоднородными условиями, – решение однородного уравнения с неоднородными начальными условиями. Поэтому их сумма будет решением неоднородного уравнения с неоднородными начальными условиями.
Найдем
(9) |
Находим частное решение неоднородного уравнения с помощью метода неопределенных коэффициентов, решение ищем в виде:
Нашли решение системы Лагранжа:
Найдем и :
Таким образом
(10) |
Покажем, что функция (10) является решением неоднородного линейного уравнения с однородными начальными условиями. Для этого подставим в неоднородное уравнение сначала ряды (4), (5), а затем для функции получим уравнение (7) и однородные начальные условия. Чтобы найти , воспользуемся формулой Лагранжа:
формула Лагранжа: | |
Таким образом:
Значит решение (10) удовлетворяет неоднородному уравнению. Функция (10) и ее первая производная удовлетворяют однородным начальным условиям.
Если уравнение однородно, то получаем ранее решенную задачу. Решение , домноженное на собственную функцию является решением этой задачи => является решением однородного линейного уравнения с неоднородным начальным условием.
Тогда решение задачи (1)-(3), представленное формулой (4) примет вид:
(11) |
Решение (11), записанное в виде суммы 2х рядов, имеет следующий физический смысл: 1‑й ряд описывает свободные колебания струны, 2‑й ряд описывает вынужденные колебания. За счет приложенной внешней силы с плотностью . 2-оеслагаемое в выражении (11) можно записать в виде:
(12) | |
Эта функция называется функцией Грина, она описывает вынужденные колебания струны.