Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования Гомельский государственный
Университет имени Франциска Скорины
Математический факультет
Кафедра Дифференциальных уравнений
Курсовая работа
«Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя»
Гомель 2005
Реферат
Курсовая работа состоит из 14 страниц, 2-х источников.
Ключевые слова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентных системе с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.
Целью курсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождение первого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем.
Содержание
Введение
Определение вложимой системы. Условия вложимости
Общее решение системы
Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Отражающая функция
Применение теоремы об эквивалентности дифференциальных систем
Заключение
Список использованных источников
Введение
В курсовой работе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Как известно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима, т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений является подмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.
В 1–2 м пунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далее проверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.
Во 3-м мы находим первый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.
В 4-м пункте применяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.
Определение вложимой системы. Условия вложимости
Рассмотрим дифференциальную систему
D. (1)
Будем называть i-ю компоненту x 
системы (1) вложимой, если для любого решения x(t)=(x 
(t),…, x 
(t)), t 
, этой системы функция x 
t 
, является квазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когда для каждого решения x(t) этой системы существует линейное стационарное уравнение вида
, (2)
для которого 
является решением.
Вообще говоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения 
. В частном случае, когда компонента 
любого решения системы (1) является одновременно и решением некоторого, общего для всех решений уравнения (2), компоненту 
системы (1) будем называть сильно вложимой в уравнение (2).
Общее решение системы
Рассмотрим вложимую систему
(1)
(b>0 и а-постоянные) с общим решением
, если с 
0;
x=0, y=at+c , если с=0, где постоянные с, с , с 
связаны соотношением с 
(b+c 
+c 
)=a , имеет два центра в точках 
и 
.
Решение:
Подставим общее решение
в нашу систему (1) получим 
= 
=c(c 
cosct-c 
sinct)= 
a- 
Для краткости распишем знаменатель и преобразуем
x +y +b= 
= 
=a+c(c sinct+c cosct)
a- 
Получаем, что x и y являются общим решением системы.
Нахождение первого интеграла дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотрим систему 
= f (t, x), x= (x ,…, x 
), (t, x) 
(1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t 
, системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:G 
R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V 
V 
R, определяемую равенством
V 
(t, x(t)) 
t .
Лемма 1.
Для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G, имеет место тождество
V 
t .
Без доказательства.
Лемма 2.
Дифференцируемая функция U (t, x), U:G R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U 
в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества
U 
Откуда при t=t 
получим равенство U (t 
справедливое при всех значениях t и x(t ). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь U 
при всех (t, x) 
Тогда для любого решения x(t) системы (1) на основании леммы1 будем иметь тождества
а с ним и достаточность.
Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x) 
выполняется неравенство.
Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).
Найдем первый интеграл нашей системы:
Возведем в квадрат и выразим с
y 
Положим 
, получим
Проверим, что функция 
– это первый интеграл системы (1), т.е. проверим выполнение тождества 
(2)
Найдем производные по t, x, y
После выше сделанных преобразований получаем, что функция 
– это первый интеграл системы (1),
2) Положим 
, т.е. 
,
где 
, Q 
3) Проверим выполнение тождества:
(3), где 
Преобразуем (3).
[в нашем случае 
] = 
= 
[учитывая все сделанные обозначения] =
= 
= 
= 
[ввиду того, что 
которое в свою очередь как мы уже показали есть тождественный ноль] 
Таким образом, тождество (3) истинное.
4. Отражающая функция
Определение. Рассмотрим систему
(5)
cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по 
. Общее решение в форме Коши обозначено через 
). Через 
обозначим интервал существования решения 
.
Пусть
Отражающей функцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию 
, определяемую формулой
Для отражающей функции справедливы свойства:
1.) для любого решения 
системы (5) верно тождество
2.) для отражающей функции F любой системы выполнены тождества
3) дифференцируемая функция 
будет отражающей функцией системы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных
и начальному условию
