Основные принципы построения математической гипотезы.

Введение.

Современная теоретическая физика в своих исследованиях пользуется широким набором методов, реализующих все общечеловеческие способы познания через систему специфических приёмов, характерных именно для теоретического уровня исследования. К ним относятся метод мысленного эксперимента, ставящий своей задачей построение абстрактных объектов как теоретических образов реальной действительности и оперирование ими с целью изучения существенных характеристик действительности (принцип относительности Галилея); идеализация, то есть выделение одного или нескольких необходимых условий существования объекта и сведение его действия к минимуму путём его изменения (молекулярно-кинетическая теория газов, теория тепловых двигателей Карно); формализация, построение абстрактно-математических моделей, раскрывающих сущность изучаемых процессов действительности; аксиоматический метод, строящийся на основе не требующих доказательства постулатов (геометрия Евклида, механика Ньютона, специальная теория относительности Эйнштейна); гипотетико-дедуктивный метод, создание системы связанных между собой гипотез, приводящей в конечном счёте к утверждениям об эмпирических фактах (электродинамика Лоренца); метод восхождения от абстрактного к конкретному, выделение главной связи изучаемого объекта и открытие новых связей на основе изучение видоизменения главной в различных условиях; метод математической гипотезы.

Знания современной теоретической физики могут быть рассмотрены как математический аппарат, получающий интерпретацию на объектах реальности. Она состоит как бы из двух частей. Первую часть составляют высказывания, образующие интерпретацию физических величин. Они указывают, как связать теоретические символы, обозначающие эти величины, со свойствами конкретных объектов опыта. Вторая часть – это уравнения теории, например, уравнения Максвелла, Ньютона, Шрёдингера, образующие математический аппарат теории. Причём при изменении математического аппарата изменяется и смысл физических величин, а, применяя правила связи физических величин с эмпирической реальностью, можно придать им такой новый смысл, которой будет противоречить их прежним математическим связям в уравнениях, и, чтобы сохранить математику, придётся искать другие уравнения.

Классическая физика вначале создавала первую часть физической теории (интерпретацию), а только затем – математический аппарат. Поэтому смысл физических величин был ясен с самого начала, основные усилия исследователей в этом случае направлялись на то, чтобы отыскать математические формы, связывающие эти величины.

В современной физике применяется другой путь, когда исследователь вначале стремится отыскать математический аппарат, оперирует с величинами, о смысле которых заранее ничего не знает, подмечает в исследуемых явлениях некоторые сходные с другими явлениями черты, для которых уравнения уже построены, стремится перебросить эти уравнения на новую область изучаемой действительности. Затем исследователь ищет интерпретацию уравнений, устанавливая связи между объектами новой области. В этом и состоит суть метода математической гипотезы.

Целью данного реферата является изучение данного метода, отыскание его достоинств и недостатков, выявление его роли в развитии физики на различных этапах её развития.

Основные принципы построения математической гипотезы.

Пути построения теоретических знаний в современной физике отличны от принятых в классическую эпоху ее эволюции. Одно из главных отличий состоит в широком применении на современном этапе метода математической гипотезы. Общая характеристика этого метода заключается в следующем. Для отыскания законов новой области берут математические выражения законов из близлежащей области, которые затем трансформируют и обобщают так, чтобы получить новые соотношения между физическими величинами. Полученные выражения рассматривают в качестве гипотетических уравнений, описывающих новые физические процессы. Указанные уравнения после соответствующей опытной проверки либо приобретают статус теоретических законов, либо отвергаются, как несоответствующие опыту.

Регулятивные принципы формирования математической гипотезы могут быть разделены на нефизические и физические. Учёный предпочитает выбирать среди возможных форм гипотетических уравнений такие, которые бы удовлетворяли требованиям простоты, логической строгости и развёртывались бы с применением уже принятых и апробированных наукой логических средств; он использует уравнения, описывающие явления, имеющие черты сходства с изучаемым им процессом. При этом он использует фундаментальные физические законы: законы сохранения (энергии, импульса, чётности и т.д.), которые не должны нарушаться в новой теоретической схеме; принцип соответствия (новые уравнения в предельном случае должны переходить в уравнения классической теории); принцип причинности; принцип инвариантности (уравнения должны сохранять свою структуру при переходе в другие системы отсчёта); принцип симметрии. В этих принципах отображаются некоторые общие закономерности физической реальности и методов её познания. Так, принцип причинности и законы сохранения отражают общие свойства природы, принцип соответствия выражает преемственность теорий; инвариантность означает, во-первых, независимость содержания знания от субъекта и, во-вторых, свойство закономерных связей действительности выступать как некое устойчивое начало.

При этом возникает ряд специфических проблем, связанных с процессом формирования математических гипотез и процедурами их обоснования.

Первый аспект этих проблем связан с поиском исходных оснований для выдвижения гипотезы. В классической физике основную роль в процессе выдвижения гипотезы играла картина мира. По мере формирования теорий она получала опытное обоснование не только напрямую через эксперимент, но и через накопление знаний в теории. Этот процесс всегда был основан на допущениях, в которых выражались как свойства объекта, так и обобщённая схема освоения объекта. В физике эта схема деятельности проявлялась в представлениях о том, что следует учитывать в измерениях и какими взаимодействиями измеряемых объектов с приборами можно пренебречь. Например, в представлении Ньютона о природе как о системе материальных корпускул с мгновенно распространяющимися взаимодействиями неявно присутствовала следующая схема измерения. Во-первых, предполагался лапласовский детерминизм движения и возможность одновременного точного измерения координат и импульсов тела. Во-вторых, постулировалась абсолютность пространства и времени. Эта концепция основывалась на предположении, что при измерении характеристики объекта не изменяются и не зависят от относительного движения лаборатории. А за природу в ньютоновской картине мира принималась та реальность, которая соответствовала данной схеме измерений.

В современной физике приняты более сложные схемы измерения, поэтому появляются и более сложные предметы научных теорий.

При столкновении с новым типом объектов, не входящих в принятую картину мира, познание изменяло эту картину, в классической физике – путём введения новых онтологических представлений, заново подвергая новую картину мира экспериментальной проверке. В современной физике картина физической реальности строится, эксплицируя саму схему измерения в форме выдвижения принципов, фиксирующих особенности метода исследования объекта (принцип относительности, дополнительности). Полученная картина мира может на первых порах не иметь законченной формы, но она определяет (вместе с принципами, фиксирующими операционную сторону) поиск математических гипотез. Такая стратегия теоретического поиска смещает и акценты в философской регуляции процесса научного открытия. В классике выдвижение физической картины мира было ориентировано философской онтологией, а в современной физике центр тяжести перенесён на гносеологическую проблематику. Поэтому в регулятивных принципах отыскания математической гипотезы явно представлены положения теоретико-познавательного характера (принцип простоты, соответствия).

Вторая особенность метода математической гипотезы касается специфики процедур построения теоретической схемы и её обоснования. В ходе математической экстраполяции исследователь создаёт новый аппарат путём перестройки некоторых уже известных уравнений. Величины, входящие в эти уравнения, переносятся в новый аппарат, получают новые связи и определения. С величинами переносятся и связанные с ними абстрактные объекты, а из них уже создаётся гипотетическая модель, которая в качестве интерпретации нового математического аппарата присутствует в теории. Такая модель, как правило, содержит неконструктивные элементы, а это может привести к противоречиям в теории и рассогласованию с опытом даже перспективных математических аппаратов. Таким образом, специфика современных исследований состоит не в том, что математический аппарат сначала вводится без интерпретации (неинтерпретированный аппарат есть исчисление, математический формализм, принадлежащий математике). Специфика заключается в том, что математическая гипотеза формирует неадекватную интерпретацию создаваемого аппарата, что усложняет процедуру эмпирической проверки самой гипотезы. Ведь опытом проверяются не только уравнения, а система «уравнения + интерпретация», и если последняя неадекватна, то опыт может выбраковать продуктивные математические структуры. Чтобы проверить математическую гипотезу, недостаточно просто сравнить следствия из уравнений с опытом, необходимо каждый раз эксплицировать гипотетические модели, введённые на стадии математической экстраполяции, отделять их от уравнений, обосновывать конструктивно, вновь сверять с созданным математическим формализмом, а только потом проверять следствия из уравнений опытом. Длинная серия математических гипотез порождает опасность накопления в теории неконструктивных элементов и утраты эмпирического смысла величин, входящих в уравнения. Поэтому в современной физике на определённом этапе развития теории становится необходима промежуточные интерпретации, обеспечивающие адекватную семантику аппарата и его связь с опытом.

Для примера можно рассмотреть историю создания квантовой электродинамики. Она начинается с построения формализма, позволяющего описать микроструктуру электромагнитных взаимодействий, которое разделяется на четыре этапа. Вначале был введен аппарат квантованного электромагнитного поля излучения. На втором этапе была построена квантованная теория электрон-позитронного поля, то есть осуществлено квантование источников полей. На третьем было описано взаимодействие полей в рамках первого приближения теории возмущений. А на последнем этапе методом перенормировки был создан аппарат, характеризующий взаимодействие квантованных электромагнитного и электрон-позитронного полей в последующих порядках теории возмущений. В период после второго этапа, когда начал создаваться аппарат, позволяющий описать взаимодействие свободных полей методами теории возмущений, в фундаменте квантовой электродинамики были обнаружены парадоксы, поставившие под сомнение ценность построенного математического аппарата, так называемые парадоксы измеримости полей. Было показано, что поля в точке при учёте квантовых эффектов перестают быть эмпирически оправданными объектами, так как их компоненты не имеют физического смысла. А источником парадоксов была неадекватная интерпретация построенного формализма, неявно введённая в процессе построения аппарата методом математической гипотезы.

Дело в том, что синтез квантово-механического формализма и уравнений классической электродинамики сопровождался заимствованием абстрактных объектов и их объединением в рамках новой гипотетической конструкции. В ней поле характеризовалось как система с переменным числом фотонов, возникающих с определенной вероятностью в каждом из возможных квантовых состояний, а среди набора совместных наблюдаемых важнейшее место занимали напряженности полей в точке, появившиеся в теоретической модели квантованного электромагнитного поля из-за переноса абстрактных объектов из классической электродинамики. Такой перенос классических идеализаций в новую теоретическую схему и породил решающие трудности при отображении ее на эмпирические ситуации по исследованию квантовых процессов в релятивистской области. Оказалось, что нельзя отыскать рецепты связи компонентов поля в точке с реальными особенностями экспериментов и измерений, изучающих квантово-релятивистские эффекты. В классике, например, величина электрической напряженности в точке определялась через внесение туда пробного заряда, приобретенный импульс которого служил мерой напряженности поля. Но при учете квантовых эффектов в силу соотношения неопределенностей Гейзенберга локализация пробного заряда ведет к возрастающей неопределенности его импульса, а, следовательно, к невозможности определить поле в точке. Далее к этому добавлялись неопределенности, возникающие при передаче импульса от пробного заряда к регистрирующему его прибору. То есть гипотетически введенная модель квантованного электромагнитного поля утрачивала физический смысл, а вместе с ней терял такой смысл и связанный с ней аппарат.

Таким образом, математические гипотезы часто формируют поначалу неадекватную интерпретацию математического аппарата. Они тянут с собой старые физические объекты, вводимые в новые уравнения, что может привести к рассогласованию теории с опытом. Поэтому на промежуточных стадиях математического синтеза вводимые уравнения должны подкрепляться анализом теоретических знаний и их обоснованием. К тому же выявление неконструктивных элементов в предварительной теоретической модели обнаруживает ее наиболее слабые звенья и создает необходимую базу для ее перестройки.

Так в примере квантовой электродинамики работы Ландау и Пайерлса указали путь перестройки первоначальной теоретической модели квантованного электромагнитного поля. А решающий шаг в построении адекватной интерпретации аппарата новой теории был сделан Бором. Он был связан с отказом от трактовки классических компонентов поля в точке в качестве наблюдаемых, характеризующих поле как квантовую систему, и заменой их новыми наблюдаемыми – компонентами поля, усредненным по конечным пространственно-временным областям. Эта идея возникла при активной роли философско-методологических размышлений Бора о принципиальной макроскопичности приборов, посредством которых наблюдатель как макроскопическое существо получает информацию о микрообъектах. Как следствие этих размышлений возникла идея о том, что пробные тела, поскольку они являются частью приборов, должны быть классическими макротелами. Следовательно, в квантовой теории абстракция точечного пробного заряда должна быть заменена другой абстракцией: заряженного пробного тела, локализованного в конечной пространственно-временной области. В свою очередь, это приводило к идее компонент квантованного поля, усредненных по соответствующей пространственно-временной области. Такая интеграция философско-методологических рассуждений в структуру физического поиска не случайна, а характерна для этапа формирования представлений о принципиально новых типах объектов науки и методах их познания. После работ Бора в квантовой электродинамике возникал новая теоретическая модель, призванная обеспечивать интерпретацию уже созданного математического аппарата.

Такой ход исследования, при котором аппарат отчленяется от неадекватной модели, а затем соединяется с новой теоретической моделью, характерен для современной теоретической физики. Заново построенная модель сразу же сверяется с особенностями аппарата. Согласованность же новой модели с математическим аппаратом является сигналом, свидетельствующим о ее продуктивности, но тем не менее, не выводит новую теоретическую конструкцию из ранга гипотезы. Для этого необходимо еще эмпирическое обоснование модели, которое производится путем конструктивного введения ее абстрактных объектов. Средством, обеспечивающим такое введение, являются процедуры идеализированного эксперимента и измерения, в которых учитываются особенности реальных экспериментов и измерений, обобщаемых новой теорией. В истории квантовой электродинамики указанные процедуры были проделаны Бором и Розенфельдом. В процессе их осуществления была получена эмпирическая интерпретация уравнений теории и вместе с тем были открыты новые аспекты микроструктуры электромагнитных взаимодействий. Например, одним из важнейших следствий процедур Бора-Розенфельда было обоснование неразрывной связи между квантованным полем излучения и электромагнитным вакуумом.

Из аппарата теории следовало, что квантованное поле обладает энергией в нулевом состоянии, при отсутствии фотонов. Но до обоснования измеримости поля было абсолютно неясно, можно ли придать вакууму реальный физический смысл или его следует воспринимать только как вспомогательную теоретическую конструкцию. Физики склонялись ко второму выводу, так как энергия квантованного поля в нулевом состоянии оказывалась бесконечной. Кроме того, Ландау и Пайерлс связывали идею вакуума с парадоксом измеримости, и в их анализе вакуумные состояния фигурировали как одно из свидетельств принципиальной неприменимости квантовых методов к описанию электромагнитного поля. Но Бор и Розенфельд показали, что определение точного значения компонентов поля может быть осуществлено лишь тогда, когда в них включаются как флуктуации, связанные с рождением и уничтожением фотонов, так и неотделимые от них нулевые флуктуации поля, возникающие при отсутствии фотонов и связанные и нулевым энергетическим уровнем поля. То есть если убрать вакуум, то само представление о квантованном электромагнитном поле не будет иметь эмпирического смысла, поскольку его усредненные компоненты не будут измеримыми. Тем самым вакуумным состояниям был придан реальный физический смысл. После интерпретации аппарата квантованного электромагнитного поля Бор и Розенфельд проанализировали возможность построения идеализированных измерений для источников, взаимодействующих с квантованным полем излучения.

Характерно, что такой путь построения интерпретации воспроизводил на уровне содержательного анализа основные этапы исторического развития математического аппарата квантовой электродинамики. При этом не была опущена ни одна существенная промежуточная стадия, то есть логика построения интерпретации совпадала в основных чертах с логикой исторического развития математического аппарат теории.

Если в классической физике каждый шаг в развитии аппарата теории подкреплялся построением и конструктивным обоснованием адекватной ему теоретической модели, то в современной физике стратегия теоретического поиска изменилась. Сейчас математический аппарат может достаточно продолжительное время строиться без эмпирической интерпретации, а при ее осуществлении исследование заново в сжатом виде проходит все основные этапы становления аппарата теории. В процессе построения квантовой электродинамики оно шаг за шагом перестраивало сложившиеся гипотетические модели и, осуществляя их конструктивное обоснование, вводило промежуточные интерпретации, соответствующие основным вехам развития аппарата. Итогом было прояснение физического смысла уравнений квантовой электродинамики. В классической физике построение теории происходило по схеме уравнение₁ ® промежуточная интерпретация₁, уравнение₂ ® промежуточная интерпретация₂,…, обобщающая система уравнений ® обобщающая интерпретация. В современной же физики этот процесс проходит другим образом: уравнение₁ ® уравнение₂ ® …, а лишь потом интерпретация₁ ® интерпретация₂ ® …(но не уравнение₁ ® уравнение₂ ® обобщающая система уравнений и сразу же завершающая интерпретация). Конечно, сама смена промежуточных интерпретаций в современной физике не воспроизводит полностью аналогичных процессов классического периода. При этом речь не идет только о замене дискретного перехода от одной промежуточной интерпретации к другой непрерывным переходом. Меняется само количество промежуточных интерпретаций. В современной физике они как бы уплотняются, из-за чего процесс построения интерпретации и развития понятийного аппарата теории протекает здесь в кумулятивной форме.

Итак, эвристические принципы благодаря своему объективному содержанию облегчают поиск наиболее адекватных гипотез, соответствующих характеру изучаемой действительности. Но окончательные приговор гипотезе выносит опыт. Причём этап опытной проверки связан с трудностями, возникающими при интерпретации, то есть правил, по которым соотносятся с опытом физические величины нового уравнения. По словам П. Дирака, "легче открыть математическую форму, необходимую для какой-нибудь основной физической теории, чем ее интерпретацию, так как число случаев, среди которых приходится выбирать при открытии формализма, весьма ограничено, так как в математике не много основных идей, тогда как при их физической интерпретации могут обнаружиться чрезвычайно интересные вещи".