Математическая олимпиада школьников Республики Татарстан.
1. Расставьте по кругу числа 25, 37, 76, 91, 640, 718, 957, 2396 так, чтобы любые два соседних числа имели общую цифру.
Решение. Например, числа можно расставить так: 25 – 2396 – 640 – 76 – 37 – 718 – 91 – 957.
2. Айгуль разрезала клетчатый прямоугольник 6×7 на фигурки вида 
и 
. Какое наибольшее количество фигурок из 5 клеток у нее могло получиться? Приведите пример такого разрезания. Фигурки можно поворачивать и переворачивать.
Решение. Заметим, что суммарная площадь, покрытая фигурками из 5 клеток, делится на 5, а фигурками из 4 клеток — а 4. Следовательно, 42 надо представить в виде суммы двух чисел, одно из которых делится на 5, а другое — на 4, причем так, чтобы первое было как можно больше. Так как 42−40=2 и 42−35=7 не делятся на 4, а 42−30=12 — делится, фигурок из 5 клеток может быть максимум 6; в этом случае фигурок из 4 клеток будет 3. Пример — на рисунке.
3. Каменщик Иван умеет складывать камин за 9 часов, а каменщик Петр — за 10 часов. Когда они работают вместе, они много разговаривают, поэтому за час кладут на 10 кирпичей меньше, чем могли бы. Сколько кирпичей нужно, чтобы сложить камин, если вдвоем они сложили его за 5 часов? (Иван каждый час кладет одно и то же количество кирпичей, и Петр — тоже, но другое количество).
Первое решение. Пусть в камине x кирпичей. Тогда Иван кладет x /9 кирпичей в час, а Петр — x /10 кирпичей в час. Вместе они будут класть (x /9+ x /10−10) кирпичей в час, откуда получаем уравнение 5 x =(x /9+ x /10−10). Решая его, находим x =900.
Второе решение. Пусть Иван кладет x кирпичей в час, а Петр — y кирпичей в час. Тогда вместе они кладут x+y −10 кирпичей в час, откуда имеем систему уравнений 9 x =10 y =5(x+y −10). Решая ее, находим x =100, y =90, поэтому в камине 900 кирпичей.
4. Закрасьте максимально возможное число клеток квадрата 4×4 так, чтобы любая закрашенная клетка имела общую сторону ровно с тремя незакрашенными. Объясните, почему закрасить бóльшее количество не удастся.
Решение. 1) Заметим, что у клетки в углу всего два соседа, поэтому такие клетки точно не закрашены.
2) Если клетка лежит на стороне, но не в углу, у нее ровно три соседа, поэтому если она закрашена, то не закрашена соседняя с ней по стороне. То есть, около каждой стороны может быть покрашена максимум одна клетка.
3) Посмотрим на клетки в центре — они образуют квадрат 2×2. У каждой из них 4 соседа. Докажем, что в нем закрашено не больше двух клеток. Действительно, если есть три закрашенные клетки, они образуют уголок 
. Пусть для определенности это клетки 1, 2 и 3 на рисунке. Но тогда у клетки 1 два закрашенных соседа, и два незакрашенных — противоречие. Следовательно, в центре может быть закрашено максимум две клетки.
4) Заметим, что если клетка 1 закрашена, то клетки 4 или 5 не могут быть закрашены, потому что у них будет не больше двух незакрашенных соседей. Но у клетки 1 должен быть закрашенный сосед, значит это клетка 2 или 3, причем ровно одна из них. Пусть это клетка 2. Тогда на нижней стороне закрашенных клеток быть не может, следовательно, может быть закрашено еще максимум 3 клетки — по одной на левой, верхней и правой стороне. Поэтому закрашенных клеток не больше 5. Пример — на рисунке.
5. 
Дан квадрат ABCD. Построены равносторонние треугольники АМD и AKB (см. рисунок). Верно ли, что точки С, М и K лежат на одной прямой?
Решение. Да, верно.
|
Проведем отрезки МK и MC и докажем, что Ð КМС – развернутый (см. рис. 4). Так как сторона каждого равностороннего треугольника равна стороне квадрата, то треугольники КАМ и MDС — равнобедренные с основаниями КМ и MС соответственно. Заметим, что Ð КAМ = Ð КAB + Ð BAМ = 60° + 30° = 90°, а Р MDС = 30°. Следовательно, Р КМА = 45°, Р DМС = 75°. То есть, Ð КМС = Р КМА +Р АМD +Р DМС = 45° + 60° + 75° = 180°. Следовательно, точки С, М и K лежат на одной прямой.