Вопросы и задания для индивидуальной и
Самостоятельной работы
1. Какое уравнение называется дифференциальным? Какая функция называется решением дифференциального уравнения (ДУ)? Как называется операция нахождения решений ДУ?
2. Чем отличаются обыкновенные ДУ от ДУ с частными производными?
3. Что такое порядок ДУ?
4. Какая форма обыкновенного ДУ называется нормальной?
5. В каком случае обыкновенное ДУ называется линейным?
6. Докажите, что функция 
является решением ДУ 
на промежутке (-1,1). Приведите это уравнение к нормальной форме.
7. Как находится ДУ заданного семейства кривых?
8. Какой геометрический смысл имеют ДУ 
и его решения? Как определить наклон интегральной кривой уравнения в заданной точке 
по правой части уравнения? Что такое поле направлений, определяемое уравнением ? Что такое изоклины? Может ли изоклина быть интегральной кривой?
9. Могут ли интегральные кривые уравнения с непрерывной правой частью пересекаться или иметь излом, могут ли они касаться друг друга?
10. Какой механический смысл имеют ДУ 
и его решения?
11. Как ставится задача Коши (начальная задача) для ДУ первого порядка? Каков ее геометрический и механический смысл?
12. Дайте формулировку теоремы Пикара о существовании и единственности непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши для уравнения .
13. В чем состоит метод последовательных приближений для решения задачи Коши: , 
?
14. Что такое общий интеграл ДУ ? Как он связан с общим решением?
15. Что такое частное решение уравнения ? Как оно связано с общим решением?
16. Какое решение называется особым? Как оно может быть связано с общим решением? Как найти кривые, подозрительные на особое решение уравнения , по аналитическим свойствам правой части?
17. Докажите, что линейное уравнение 
не имеет особых решений.
18. Докажите, что уравнение 
, где P и Q – полиномы, не может иметь особых решений. Почему уравнение 
, где M и N – полиномы, заведомо не имеет особых решений?
19. Как можно обнаружить кривые, подозрительные на особое решение ДУ первого порядка, в процессе интегрирования его?
20. Почему огибающая семейства интегральных кривых ДУ первого порядка всегда является решением, и притом особым?
21. Как интегрируется уравнение с разделяющимися переменными? Какие функции могут оказаться особыми решениями?
22. Какое уравнение называется однородным? Какие линии являются изоклинами этого уравнения?
23. Какой подстановкой (заменой искомой функции) однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными? Какие функции могут быть особыми решениями однородного уравнения?
24. Какой вид имеет линейное ДУ первого порядка? Чем отличается неоднородное линейное уравнение от однородного?
25. Как интегрируется однородное линейное уравнение первого порядка? Какой вид имеет общее решение?
26. Какой подстановкой (заменой искомой функции) неоднородное линейное уравнение первого порядка приводится к однородному в случае, когда известно одно частное решение неоднородного уравнения?
27. В чем состоит метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) интегрирования неоднородного линейного уравнения?
28. Как интегрируется уравнение Бернулли? В каком случае y=0 будет особым решением?
29. При каком условии ДУ является уравнением в полных дифференциалах? Как интегрируется уравнение в полных дифференциалах?
30. В чем состоит метод интегрирующего множителя?
31. Какой вид имеет уравнение Клеро? Как находятся общее и особое решения этого уравнения?
32. Что такое ортогональная траектория заданного семейства кривых на плоскости? Как составляется ДУ семейства ортогональных траекторий?
33. Дайте геометрическое и механическое истолкование ДУ второго порядка и его решений.
34. Как ставится задача Коши для ДУ n-го порядка в нормальной форме? Каково геометрическое и механическое истолкование задачи Коши в случае уравнения второго порядка?
35. Сформулируйте теорему Пикара существования и единственности n раз непрерывно дифференцируемого решения задачи Коши для уравнения n-го порядка в нормальной форме.
36. Что называется общим решением ДУ n-го порядка? Какой вид имеет общий интеграл уравнения n-го порядка?
37. Что такое частное решение уравнения n-го порядка в нормальной форме? Как оно связано с общим решением?
38. Как понижается порядок уравнения, не содержащего искомой функции, и уравнения, не содержащего искомой функции и последовательных первых производных?
39. Как понижается порядок уравнения, не содержащего независимой переменной?
40. Какой вид имеет линейное уравнение n-го порядка? Чем отличается однородное линейное уравнение от неоднородного?
41. Что такое линейный дифференциальный оператор n-го порядка и каковы его основные свойства? Как записываются однородное и неоднородное линейные ДУ с использованием линейного дифференциального оператора?
42. Что такое фундаментальная система решений однородного линейного уравнения n-го порядка?
43. Что такое определитель Вронского решений однородного линейного уравнения n-го порядка и каковы его свойства?
44. Как при помощи определителя Вронского узнать, образуют ли данные n решений однородного линейного уравнения n-го порядка фундаментальную систему решений?
45. Как строится общее решение однородного линейного уравнения n-го порядка по фундаментальной системе решений? В какой области оно определено?
46. Какой подстановкой (заменой искомой функции) неоднородное линейное уравнение n-го порядка приводится к однородному в случае, когда известно одно частное решение неоднородного уравнения?
47. В чем состоит метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) интегрирования неоднородного линейного уравнения n-го порядка?
48. В чем состоит метод Эйлера построения фундаментальной системы решений однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами? Какой вид имеют фундаментальная система решений и общее решение в случае различных и кратных корней характеристического уравнения?
49. В чем состоит метод неопределенных коэффициентов для нахождения частных решений неоднородного линейного уравнения n-го порядка?
50. Какой вид имеет ДУ, описывающее движение точки массы m по прямой, которую мы принимаем за ось x, если на точку действуют три силы: 1) возвращающая сила – сила, притягивающая точку к началу координат (-ax) (a>0); 2) сила сопротивления среды, пропорциональная скорости; 3) возмущающая сила, направленная по оси x и равная F(t) (t – время)? Когда это уравнение называют соответственно уравнением свободных и вынужденных колебаний?
51. Как интегрируется уравнение свободных колебаний в среде без сопротивления? Какой вид имеет общее решение? Что такое гармоническое колебание, его амплитуда, период, частота и начальная фаза? Как зависят амплитуда и начальная фаза от начальных значений искомой функции и ее производной?
52. Как интегрируется уравнение свободных колебаний в среде с сопротивлением? Какой вид имеет общее решение при различных соотношениях между силой сопротивления среды и возвращающей силой? Что такое затухающее гармоническое колебание, его период, частота, амплитуда и начальная фаза? Что такое начальная амплитуда? Каково поведение амплитуды при 
? Сравните со случаем свободных колебаний. Как влияет наличие сопротивления на характер колебаний?
53. Как интегрируется уравнение вынужденных колебаний в среде без сопротивления в случае периодической возмущающей силы, имеющей синусоидальный характер? Что такое резонанс?
54. Каков общий вид системы дифференциальных уравнений первого порядка? Что называется решением этой системы? Какой вид имеет нормальная форма системы ДУ? В каком случае нормальная система называется линейной?
55. Как ставится задача Коши для нормальной системы? Каков ее геометрический смысл?
56. Какой механический смысл имеют нормальная система и ее решение? Что такое фазовое пространство? Как связаны между собой движение, определяемое системой ДУ, и его траектория? Какое движение называется состоянием покоя, какова его траектория?
57. Какая система ДУ называется стационарной или автономной?
58. Каков механический смысл задачи Коши для нормальной системы ДУ?
59. Что такое общий интеграл нормальной системы? Что такое интегрируемые комбинации и как они используются для нахождения общего интеграла?
60. Докажите, что уравнение n-го порядка в нормальной форме всегда можно привести к равносильной ему нормальной системе дифференциальных уравнений.
61. В чем состоит метод исключения? Всегда ли этим методом можно привести нормальную систему n уравнений к уравнению n-го порядка с одной неизвестной функцией?
62. Какой вид имеет линейная система ДУ в нормальной форме? Чем отличается однородная линейная система от неоднородной?
63. Что такое фундаментальная система решений однородной линейной системы n уравнений?
64. Что такое определитель Вронского решений однородной линейной системы n уравнений?
65. Как узнать при помощи определителя Вронского, образуют ли данные n решений однородной линейной системы n уравнений фундаментальную систему решений?
66. Как строится общее решение однородной линейной системы по фундаментальной системе решений?
67. В чем состоит метод Эйлера построения фундаментальной системы решений однородной линейной системы ДУ с постоянными коэффициентами?
68. Какие методы существуют для решения неоднородной линейной системы с постоянными коэффициентами?