Библиографический список. Предисловие. ОЛИМПИАДА -2005 год

Предисловие

 

 

В течение нескольких десятилетий кафедра высшей математики каждый год организует и проводит внутривузовскую олимпиаду по математике для студентов 1 и 2-го курсов технических и экономических специальностей.

В последние годы кафедра проводит командные олимпиады (команда до 5-ти человек), при этом студенты организуют свои команды сами, как правило, по специальностям. Ежегодно в олимпиаде участвуют 250-350 студентов младших курсов.

В изложенных в работе олимпиадных заданиях (2005-2009 гг) задачи имеют различную степень трудности, но их содержания и решения в любом случае не выходят за рамки изучаемого в ОмГТУ общего курса математики. Мы стремились изложить решение задач так, чтобы студенты могли разобраться в них самостоятельно.

Методические указания могут быть использованы как преподавателями, готовящими студентов к различным математическим олимпиадам, так и студентами при подготовке к участию в них.

Задания

ОЛИМПИАДА -2005 год

Й курс

	Найти все тройки действительных чисел для которых , где - некоторое натуральное число, - единичная матрица.
	Найти все действительные корни уравнения .
	Пусть . Показать, что существует число из такое, что .
	Две вершины треугольника зафиксированы, а третья движется по плоскости так, что один из углов при основании треугольника остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина?
	Пусть - четыре точки пространства, , , и . Показать, что точки лежат на одной прямой.
	Вычислить .
	В произвольном выпуклом шестиугольнике соединены середины противоположных сторон. Всегда ли из полученных отрезков можно сложить треугольник?
	Вычислить .
	Найти значение производной 2005-го порядка функции в точке .
	Функция дважды дифференцируема и удовлетворяет равенству , где на всей числовой оси. Доказать, что и - ограничены на всей числовой оси.

Й курс

	Найти все тройки действительных чисел для которых , где - некоторое натуральное число, - единичная матрица.
	Вычислить , где ограничена линиями: , , .
	Пусть . Показать, что существует число из такое, что .
	Две вершины треугольника зафиксированы, а третья движется по плоскости так, что один из углов при основании треугольника остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина?
	Функция непрерывна на . Показать, что .
	Показать, что .
	Найти значение производной 2005-го порядка функции в точке .
	Функция дважды дифференцируема и удовлетворяет равенству , где на всей числовой оси. Доказать, что и - ограничены на всей числовой оси.
	Доказать равенство .
	Сколько положительных корней имеет многочлен , если - положительные числа?

ОЛИМПИАДА -2006 год

Й курс

	Вычислить .
	Можно ли через прямые провести плоскость?
	Вычислить .
	Построить линию .
	Решить уравнение , .
	Координаты всех вершин многоугольника на плоскости – рациональные числа. Доказать, что площадь многоугольника – рациональное число.
	Найти все ограниченные в окрестности нуля функции , удовлетворяющие тождеству .
	Через точку (0,0,1) проведены все прямые с направляющими векторами , где – любое действительное число. По каким линиям пересекается полученная поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям координат?
	Все элементы квадратной матрицы порядка – числа 0; 1 или -1, причем каждая строка и столбец содержат ровно один ненулевой элемент. Доказать, что , где – единичная матрица, а – некоторое натуральное число.
	Вертолет должен пролететь 25 км на север, затем 200 км на восток при постоянном по направлению и величине векторе скорости, причем скорость ветра равна собственной скорости вертолета. При каком направлении ветра на полет уйдет минимальное время?

Й курс

	Вычислить .
	Можно ли через прямые провести плоскость?
	При каких значениях действительного числа сходится ряд ?
	Решить уравнение .
	Координаты всех вершин многоугольника на плоскости – рациональные числа. Доказать, что площадь многоугольника – рациональное число.
	Найти площадь эллипса, образованного пересечением цилиндра и плоскости .
	Найти все ограниченные в окрестности нуля функции , удовлетворяющие тождеству .
	Вычислить .
	Все элементы квадратной матрицы порядка – числа 0; 1 или -1, причем, каждая строка и столбец содержит ровно один ненулевой элемент. Доказать, что , где – единичная матрица, а – некоторое натуральное число.
	Функция – дифференцируема и удовлетворяет тождеству . Доказать, что при .

ОЛИМПИАДА -2007 год

Й курс

	Построить график функции .
	Вычислить .
	Составить уравнения всех окружностей, проходящих через точки и .
	Пусть - вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Вычислить .
	Функция удовлетворяет условиям , . Доказать, что нельзя представить в виде отношения двух многочленов.
	Изобразить множество точек плоскости, для которых выполнено неравенство .
	Вычислить .
	Действительная функция определена на всей числовой оси и удовлетворяет тождеству , где – заданная постоянная, . Доказать, что – периодическая и привести пример непостоянной функции с указанными свойствами.
	На маленьком острове стоит прожектор, освещающий отрезок моря длиной 1 км. Прожектор вращается равномерно вокруг вертикальной оси, делая один оборот в минуту. Сможет ли подплыть к острову незаметно катер, имеющий скорость 0,9 км/мин?
	В невырожденной квадратной матрице порядка сумма элементов любой строки равна 1. Найти сумму всех элементов обратной матрицы .

Й курс

	Найти все функции, у которых вторая производная совпадает с пятой.
	Доказать, что касательные плоскости к поверхности отсекают на осях координат отрезки, сумма длин которых не зависит от выбора точки касания.
	Составить уравнения всех окружностей, проходящих через точки и .
	Привести пример такого сходящегося знакоположительного ряда , что ряд расходится.
	Построить интегральную кривую (график решения) задачи Коши .
	Изобразить множество точек плоскости, для которых выполнено неравенство .
	Вычислить .
	Действительная функция определена на всей числовой оси и удовлетворяет тождеству , где – заданная постоянная, . Доказать, что – периодическая и привести пример непостоянной функции с указанными свойствами.
	На маленьком острове стоит прожектор, освещающий отрезок моря длиной 1 км. Прожектор вращается равномерно вокруг вертикальной оси, делая один оборот в минуту. Сможет ли подплыть к острову незаметно катер, имеющий скорость 0,9 км/мин?
	В невырожденной квадратной матрице порядка сумма элементов любой строки равна 1. Найти сумму всех элементов обратной матрицы .

ОЛИМПИАДА -2008 год

Й курс

	У студента стал «глючить» его любимый калькулятор. Он может только складывать и вычитать данные числа и вычислять обратное к данному числу , т.е. . Как ему, используя только этот калькулятор, для данного числа вычислить ?
	Существует ли , при котором определитель порядка 2008, в котором , равен нулю?
	Построить график функции .
	Доказать, что уравнение имеет хотя бы одно решение в интервале .
	Вычислить .
	В треугольной пирамиде - площадь -ой грани, - единичная внешняя нормаль -ой грани . Доказать, что .
	Решить уравнение .
	Доказать, что на плоскости существует единственный равносторонний треугольник, координаты всех вершин которого удовлетворяют уравнению и найти его площадь.

Й курс

	У студента стал «глючить» его любимый калькулятор. Он может только складывать и вычитать данные числа и вычислять обратное к данному числу , т.е. . Как ему, используя только этот калькулятор, для данного числа вычислить ?
	Существует ли , при котором определитель порядка 2008, в котором , равен нулю?
	Могут ли функции быть решением на дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами ?
	Доказать, что уравнение имеет хотя бы одно решение в интервале .
	Пусть на и , . Найти .
	Найти сумму ряда .
	Решить уравнение .
	Вычислить , где .

ОЛИМПИАДА -2009 год

Й курс

	Найти уравнения всех общих касательных к окружностям радиусов 3 и 4 с центрами в точках (0,5) и (5,0) соответственно.
	Найти площадь четырехугольника, стороны которого лежат на прямых , , , .
	Сколько действительных решений имеет уравнение ?
	Найти максимальное значение определителя , где - квадратная матрица, в каждой строке и столбце которой одна единица, а остальные элементы – нули.
	Построить график функции .
	Вычислить .
	При каких система имеет решение?
	Найти наибольшее значение функции на ( - любое натуральное число).
	Найти все такие, что для любых выполняется .
	При каком абсцисса точки перегиба функции имеет наименьшее натуральное значение?

Й курс

	Записать уравнение круговой цилиндрической поверхности радиуса 1, ось которой проходит через точки (0, 0, 0) и (1, 1, 1)
	Решить задачу Коши .
	Вычислить
	Найти все решения матричного уравнения , где , - единичная матрица.
	Исследовать сходимость ряда , где - сумма ряда , а - его частичные суммы.
	Вычислить предел
	При каких система имеет решение?
	Найти наибольшее значение функции на ( - любое натуральное число).
	Найти все такие, что для любых выполняется .
	При каком абсцисса точки перегиба функции имеет наименьшее натуральное значение?

Решения

ОЛИМПИАДА -2005 год

Й курс

 

1. Индукцией по степени легко проверяется, что

,

где

, . (*)

По условию при некотором , первое из этих равенств возможно только при .

Если , то из (*) следует и , т.е. тройки и удовлетворяют условию при любых .

Если , (*) запишется в виде , и возможно только при , а при .

Если , то , только при , а при .

Ответ: , ; , .

2. при . Следовательно левая часть уравнения строго возрастает.

- единственный корень.

3. т.к. третья строка определителя становится пропорциональной первой;

т.к. вторая строка определителя становится пропорциональной первой.

Так как , то утверждение следует из теоремы Ролля.

4. Введем систему координат и необходимые обозначения

 

По теореме синусов .

Т.к. , то . Далее с учетом получаем

- уравнение гиперболы.

5. Зададим векторную функцию четырех точек пространства равенством

лежат на одной прямой.

6.

7.

Ответ: да, всегда.

8. Пусть - искомый предел. Тогда

9. Функция преобразуется по тригонометрическим формулам в сумму:

10. Умножим дифференциальное уравнение на :

или

функция не убывает при и не возрастает при т.е. ч.т.д.

 

Й курс

 

1. см. 2005, 1 курс, №1.

2. Область имеет вид

.

3. см. 2005, 1 курс, №3.

4. см. 2005, 1 курс, №4.

5.

ч.т.д.

6. Исследуем и используем неравенство .

, т.е. при , и при .

Тогда ч.т.д.

7. см. 2005, 1 курс, №9.

8. см. 2005, 1 курс, №10.

9. , где .

Имеем , а при

по индукции ч.т.д.

10. Очевидно, что

один раз меняет знак с – на + на , один раз меняет знак с – на + на ,…, один раз меняет знак с – на + на , т.е. имеет ровно 1 положительный корень.

 

ОЛИМПИАДА -2006 год

Й курс

 

1. .

2. Через прямые и можно провести плоскость в двух случаях: 1) 2) .

В данной задаче и не параллельны, т.к. их направляющие векторы , . Ищем точку пересечения и ( и - обозначения параметров в уравнениях и ):

Ответ: можно, т.к. .

3. а)

б) (правило Лопиталя) .

Ответ: .

4.

или

(гипербола) или (эллипс)

 

5.

,

(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Матричное равенство из условия эквивалентно системе уравнений:

.

6. Для треугольника с вершинами , , :

рациональное.

Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, т.е. сумме рациональных чисел.

7. По условию для любого .

В частности,

. Отсюда последовательно получаем

;

;

………………………………………………………………………

(*)

При имеем , и в силу ограниченности в окрестности

.

Теперь из (*) при и формулы суммы геометрической прогрессии получаем

.

8. Параметрические уравнения прямых имеют вид:

- уравнение поверхности из условия задачи.

1) - пара перпендикулярных прямых (), гипербола ().

2) - прямая (), парабола ().

3) - прямая (), парабола ().

9. Пусть - множество всех матриц указанного вида. Тогда

1) , т.к. для любой строки (любого столбца ) существует ровно один столбец (строка ) такие, что произведение строки на столбец не равно 0 (и равно ).

2) Число различных матриц в конечно () т.к. число различных первых строк равно , для каждого выбора первой строки выборов второй и т.д.

Из 1) и 2) следует, что при в последовательности есть по крайней мере две совпадающие . Т.к. - невырожденная матрица (), то . Ч.т.д.

10. Введем систему координат, в которой OX направлена на восток, OY – на север. Пусть - собственная скорость вертолета, - угол вектора скорости ветра с направлением на север. Очевидно, что для минимального времени полета и (т.к. ).

Пусть - вектор собственной скорости вертолета при полете на север. Тогда , и время полета на север .

Аналогично, - время полета на восток. Общие затраты времени и времени достигается при .

 

Й курс

1. см. 2006, 1 курс, №1.

2. см. 2006, 1 курс, №2.

3. 1) - расходится по необходимому признаку.

2) -расходится по признаку сравнения т.к. - расходится при .

3) При положим и сравним наш ряд со сходящимся рядом (обобщенный гармонический ряд):

(правило Лопиталя) для любого начиная с некоторого номера - сходится.

Замечание. При функция положительна (при ), убывает (при и тем более при ) и ; для сходимости исследуемого ряда можно использовать интегральный признак.

Ответ: .

4. Введем новую неизвестную функцию