С одной степенью свободы

Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Варианты механических систем показаны на рис. 198 — 200, а необхо­димые для решения данные приведены в табл. 55.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Пример выполнения задания. Дано: G₁ = G₂ = 2G; G₃ = G₄ = G; R = 2r;

i_2x = r ; f = 0,2.

Блок 3 — сплошной однородный цилиндр (рис. 201). Определить уско­рения грузов 1 и 4 и натяжения ветвей нити 1—2 и 3-4.

Решение. Применим к решению задания общее уравнение динамики. Так как система приходит в движение из состояния покоя, направления ускорений тел соответствуют направлениям их движения.

Ввиду того что среди сил, действующих на тела системы, есть сила трения, целесообразно по исходным данным найти истинное направление движения системы, чтобы правильно показать направление силы трения.

Таблица 55

№ вар	Силы тяжести	R/r	Радиусы инерции	P	Коэффициент трения скольжения	Дополнительные данные
С,	G2	G3	G4	i2x	i3x
	С	G	3G	-	2		-	-	-
	G	G	G	-			-	-	-
	3G	G	G	-			-	-	0.1
	G	G	2G	-	-	-	-	-	0,2	r2=r3
	2G	G	G	G		2r	-	-	-
	2G	G	2G	-		2r	-	-	0,2
	1G	G	2G	-		2r	-	-	0,2
	2G	G	2G	-		2r	-	-	0,2
	2G	G	2G	-		2r	-	0,2G	0,2
	2G	2G	G	-		-	2r	G/3	0,4
	2G	G	2G	0,2G		2r	-	-	0,2
	2G	G	2G	0,2G		2r	-	-	0,2
	AG	1G	G	4G	-		2r3	-	-	r2=2r3; R2=R3
	-	2G	G	4G	-		2r3	8G	-	r2=2r3; R3=1,5R2
	AG	G	2G	4G	-		2r3	-	-	r2=2r3; R3=1,5R2
	-	G	2G	4G			2r3	4G		r2=2r3; R3=1,5R2
	2G	G	G	-			-	-	0,1
	3(5	0,2G	0,1G	0,5G		-	-	-	0,4
	AG	0.3G	0,2G	3G		2r	l,2r	-	0,1	r3=1,2r; R3=1,2r3
	AG	0,2G	0,1G	3G		l,6r		-	0,2	r2=1,5г; R2=1,2r2
	5G	0,1G	0,2G	-		-		G	-
	G	0,2G	0,3G	-		-		G	-
	G	0,2G	0,1G	-	1,5	l,2r	-	2G	-	R3= 1,2г
	2G	G	G	8G	-	-	-	-	-	Массы четырех колес одинаковы r3=r4 r3=r2
	6G	2G	2G	G	-	-	-	-	-
	6G	G	2G	-	-	-	-	-	-
	G	G	G	4G				-	-
	3G	G	G	-			-	-	0,1
	6G	3G	G	G		-		-	-	i3x= i4x
	8G	G	G	2G	-	-	-	-	0,1

Примечания: 1. Радиусы инерции даны относительно центральных осей, перпендикулярных плоскости чертежа (рис. 198 — 200).

2. Коэффициент трения принимать одинаковым как при скольжении тела по плоскости, так и при торможении колодкой (варианты 9—12).

Если направление движения системы выбрано ошибочно, то искомое ускорение получается со знаком «-». В этом случае необходимо изменить направления силы трения и сил инерции и внести соответствующие поправки и общее уравнение динамики.

В данном примере движение системы таково, что груз 1 опускается.

Покажем задаваемые силы: силы тяжести — груза 1, — блока 2, — блока 3 и — груза 4, а также F — силу трения скольжения груза) по наклонной плоскости (рис. 202).

Приложим силы инерции. Сила инерции груза 1, движущегося посту­пательно с ускорением а_и выражается вектором

Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угло­вым ускорением , приводятся к паре, момент которой

Силы инерции блока 3, совершающего плоское движение, приводятся к вектору

где — ускорение центра масс блока 3, и к паре сил, момент которой

,

где — угловое ускорение блока.

Сила инерции груза 4, движущегося поступательно с ускорением ;

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действи­тельного движения (рис. 202) (можно сообщить возможное перемещение и в обратном направлении).

Составим общее уравнение динамики:

(1)

где и — углы поворотов блоков 2 и 3.

Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями.

Выразим скорости центров масс и угловые скорости тел системы через скорость тела 1(составим уравнения связей).

Как показано на рис. 202, мгновенный центр скоростей блока 3 находится на одной вертикали с центром блока 2. Расстояние между мгновенным центром скоростей и центром блока 3

Теперь находим

(2)

Такие же зависимости и между возможными перемещениями:

(3)

Уравнение (1) с учетом (3) принимает вид

Учитывая, что

G₁ = G₂ = 2G = 2mg; G₃ = G₄=G = mg, (4)

имеем

(5)

Зависимости между ускорениями в соответствии с (2)