Решение комбинаторных задач




Задачу можно назвать комбинаторной, если ее решением является перебор элементов некоторого конечного множества.
Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который можно сформулировать таким образом, что он начинался бы словами:
• Сколькими способами…?
• Сколько вариантов…?

Для того, чтобы решить задачу по комбинаторике, необходимо сначала понять её смысл, то есть, представить мысленно процесс или действие, описанное в задаче.
Нужно чётко определить тип соединений в задаче, а для этого надо, составив несколько различных комбинаций, проверить повторяются ли элементы, меняется ли их состав, важен ли порядок элементов.

 

 

Пример 3

Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку каждому. Сколько всего было рукопожатий?

Показать решение

Каждый пожал руку каждому, то есть каждый человек сделал 5 рукопожатий. Но общее количество рукопожатий получается по правилу суммы: n 1 + n 2 +... + n 6 = 6 × 5 = 30. Учтём теперь то, что каждое рукопожатие мы посчитали дважды, и получим в результате 15 рукопожатий.

Ответ. 15 рукопожатий.

 

Размещения

Пусть задано некоторое конечное множество из n различных элементов. Пусть из числа его элементов выбраны k различных штук (k ≤ n), тогда говорят, что произведена выборка объёма k. Если важен порядок, в котором произведена выборка элементов, то говорят об упорядоченной выборке, если порядок не важен, то о неупорядоченной.

 

Упорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, (k ≤ n) называется размещением из n элементов по k. Количество размещений обозначается

Символ читается «а из эн по ка».

Модель 4.3. Размещения

 

Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов. Количество перестановок обозначается P n.

Модель 4.2. Перестановки

Другими словами, Выведем формулу для числа Первый элемент выборки можно выбрать n различными способами, второй – n − 1 способом,..., k -й − n − (k − 1) способом. Значит, k элементов можно выбрать
способами. В частности, P n = n · (n – 1) ·... · 2 · 1.

Введём следующее обозначение: n! = n · (n – 1) ·... · 2 · 1. Символ «!» называется знаком факториала или просто факториалом. По определению считается, что 0! = 1. С помощью факториала можно компактно записать выражение для и

Количество размещений из n элементов по k:

В частности, количество перестановок из n элементов:
P n = n!.

Пример 1

Вычислить

Показать решение

Ответ. 12.

 

Вычислять факториалы от больших чисел не очень удобно. Для больших n можно использовать оценочную формулу, предложенную шотландским математиком Джеймсом Стирлингом.

При больших n выражение n! можно приближенно вычислить по формуле:

Буквой e здесь, как обычно, обозначено основание натурального логарифма e = 2,71828… При n = 10 погрешность при вычислении факториала с помощью этой формулы составляет менее 1 %, а при n = 100 – меньше 1/10 процента.

 

Вернемся к формуле Из неё следует, что В подобных ситуациях полагают, что 0! = 1, и это логично: единственный способ переставить 0 объектов – это ничего не делать.

Пример 2

Сколько семизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр при условии, что цифры в записи числа не повторяются?

Показать решение

Последняя цифра искомого числа должна быть 0 или 5. В первом случае остальные шесть цифр можно выбирать из множества {1, 2, 3,..., 9}, и число вариантов равно Пусть теперь число оканчивается цифрой 5. Тогда в качестве первой цифры можно взять любую из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Цифры со второй по шестую можно выбрать способами. Значит, всего таких семизначных цифр существует
Ответ. 114240.

 

В предыдущем примере цифры в числе не должны были повторяться. Не менее часто, однако, встречаются задачи, в которых элементы в выборке могут повторяться. Подобные выборки называются размещениями с повторениями и обозначаются

Найдем число На первое место можно выбрать элемент n способами, на второе – также n способами, и так далее. Если количество мест равно k, то по правилу количество различных выборок равно


Количество размещений с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле

Пример 3

Сколько различных пятибуквенных «слов» можно составить из 26 букв латинского алфавита?

Показать решение

По формуле где n = 26, k = 5, получаем:

 

Пример 4

У Васи есть две одинаковых копейки, один десятицентовик, три одинаковых пенса и три одинаковых лиры. Сколькими способами Вася может разместить монеты в своем альбоме, если количество мест в альбоме в точности равно количеству монет?

1

Показать решение

При расстановке монет в альбоме важен порядок следования монет – значит, речь идет о количестве перестановок. Всего монет 9, и общее количество перестановок равно 9!. Однако если мы переставим местами две одинаковых копейки, то набор от этого не изменится. Значит, ответ нужно поделить на 2. Точно так же не изменится набор и в том случае, если переставить друг с другом пенсы или лиры. Количество перестановок 3 пенсов равно 3!, лир – также 3!. Десятицентовик у Васи всего один, и количество перестановок для него равно 1!, но для завершённости формулы учтём и его. Итак, количество способов, которыми можно расставить монеты в альбоме, равно

 

Можно сформулировать общее правило.

 

Количество перестановок из n элементов, среди которых имеется n 1 одинаковых элементов первого сорта, n 2 одинаковых элементов второго сорта, n k одинаковых элементов k -го сорта, называется количеством перестановок с повторениями, обозначается символом и вычисляется по формуле

Сочетания

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой, или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

 

Всякая неупорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, (k ≤ n) называется сочетанием из n элементов по k. Количество сочетаний обозначается и вычисляется по формуле

Символ читается «це из эн по ка».

Формулу для можно получить из следующих соображений.

Из любого набора, содержащего k элементов, можно получить k! перестановок. Поэтому упорядоченных выборок объёма k существует
штук. Значит,

Модель 4.4. Сочетания

Пример 1

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Показать решение

Задачи первого варианта можно выбрать способами. После этого останется 10 задач, следовательно, второй вариант можно составить способами. Для третьего варианта задачи можно выбрать способом. По правилу произведения получаем, что число способов равно Однако нам всё равно, какой вариант будет первым, какой – вторым, а какой – третьим. Потому найденное число нужно разделить на число перестановок из трёх элементов, то есть на 3!. Окончательно получаем, что число способов равно способов.

Ответ. 126126.

 

Пример 2

Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?

Показать решение

Пусть в первый ящик попадет шаров, во второй – в третий – шаров, а в четвёртый – Тогда количество способов выборки в первый ящик из n шаров определяется числом количество способов выборки во второй ящик шаров из оставшихся – числом для 4-го ящика – а для k -го ящика то же число будет равно Ответ найдётся по правилу произведения: В нашем случае

 

Для числа сочетаний справедливы некоторые тождества, в частности:

Пример 3

Докажите тождество

Показать решение

С помощью формулы для получаем:

 

Запишем в «нулевой» строке число В первой строке напишем значения чисел и каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение оказалось над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа и тоже равные 1, а между ними – число Обратим внимание, что число равно сумме двух чисел, стоящих над ним: Продолжим построение, записывая в n -й строке числа от до включительно.

1

Рисунок 4.2.3.1.

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Согласно свойству любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

Пример 4

Доказать, что

Показать решение

Рассмотрим (n + 1)-ю строку треугольника Паскаля. Каждое число этой строки входит в качестве слагаемого в два соседних числа следующей строки. Таким образом, сумма чисел очередной строки в два раза больше суммы чисел предыдущей строки.

Эти числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, 16 и так далее. При этом сумма чисел в нулевой строке в первой строке во второй строке и так далее. Строгое доказательство этого факта производится методом математической индукции.

Итак,

 

На языке множеств утверждение, доказанное в задаче, выглядит по-другому.

Число подмножеств множества из n элементов равно 2 n .

Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля, мы приведём здесь без доказательства:

Бином Ньютона

Приведённое тождество называется биномом Ньютона.

 

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

Пример 5

В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.

2

Показать решение

Решим задачу следующим образом. Пусть количество пятен первого цвета равно k 1, второго цвета – k 2, третьего – k 3 и так далее. Запишем каждое из этих чисел последовательностью из соответствующего количества единиц, а на границах между числами поставим нули. Так, если у нас первого цвета 1 пятно, второго – 3 пятна, третьего и четвёртого – ни одного, пятого и шестого – по одному пятну, а седьмого и восьмого – снова не одного, то запись будет выглядеть следующим образом: 1011100010100. В этой цепочке содержится m 1 = 6 единиц, m 0 – 1 = 8 – 1 = 7 нулей – всего n = m 0 + m 1 – 1 = 13 цифр. Количество перестановок с повторениями этих цифр равно
Именно столько существует различных вариантов раскраски ватмана (без учёта порядка цветных пятен).

 

Вообще, можно сформулировать следующее правило.

 

Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний

 

 

Из истории комбинаторики Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в. Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. Правило суммы Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y. То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами. Примеры задач Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы? Решение: X=17, Y=13 По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи? Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов. Правило произведения Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами. То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами. Примеры задач Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать? Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов. Пересекающиеся множества Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются другой формулой. Примеры задач 20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего? Ответ: 10+20-5=25 человек. Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий. Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков. Размещения без повторений. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными. Если X-множество, состоящие из n элементов, m?n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов. Количество всех размещений из n элементов по m обозначают [pic] n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n n!=1*2*3*...*n 0!=1 Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет [pic] Задача Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому: [pic] Возможно 360 вариантов. Перестановки без повторений В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x. Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn. Pn=n! Действительно при n=m: [pic] Примеры задач Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются? Решение:1) Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P6=6!=7202) 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P5=5!=120. P6-P5=720-120=600 Квартет Проказница Мартышка Осел, Козел, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры И споры, Кому и как сидеть… Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно P4=4!=24 варианта перестановок. Сочетания без повторений Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения. Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Число сочетаний из n элементов по m обозначается [pic]. [pic]. Примеры задач Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр. Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно [pic]вариантов. У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги. Решение: Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги [pic][pic] способами. Второй человек может выбрать 2 книги [pic]. Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно [pic]. Размещения и сочетания с повторениями Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула [pic], а для сочетаний [pic]. Примеры задач Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно [pic]. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных. Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь - [pic]. Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет? Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть [pic] вариантов. Перестановки с повторениями [pic][pic], где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов. Примеры задач Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»? Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно [pic]. Задачи для самостоятельного решения Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи». Ответ: 2520 Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев. Ответ: 16807 На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры? Ответ: 49, 220 Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую? Ответ: 40320 Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек? Ответ:200 Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре «Верю - не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт). Ответ: [pic]. В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода. Ответ: 15 На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз? Ответ: 480, 437 Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»? Ответ: 9 Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой? Ответ: 25000 В книжный магазин поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек? Ответ:: 2985

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: