Метод анализа иерархий
Задание.
Для ситуации принятия решения, определенной Вами в лабораторной работе № 2, применить метод анализа иерархий. Объяснить полученные результаты.
Теоретическая часть
Метод анализа иерархий изложен в книге
Саати, Томас. Аналитическое планирование. Организация систем: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1991. - 224с.
Пример. Покупка дома.
Шаг 1. Декомпозиция.
Задача представляется в виде иерархии (рис.1).
1-й уровень: общая цель «Дом».
2-й уровень: 8 факторов (критериев), уточняющих цель.
3-й уровень: 3 дома-кандидата, которые должны быть оценены по отношению к критериям 2-го уровня.
Критерии:
1. Размеры дома: емкость хранилищ; размеры комнат; число комнат; общая площадь дома.
2. Транспорт: близость остановок общественного транспорта.
3. Окрестности: интенсивность движения транспорта; безопасность; хороший вид; низкие налоги; ухоженные окрестности.
4. Время постройки дома (возраст дома).
5. Двор: пространство перед домом и вокруг него, расстояние до соседей.
6. Современное оборудование: посудомоечная машина, удаление мусора, кондиционирование воздуха, система сигнализации и пр.
7. Общее состояние: потребность в ремонте, стены, ковер, драпировки, чистота; электропроводка; крыша; водопроводная система.
8. 
Финансовые условия: допускаемая закладная, условия продажи и банковский кредит.
Рисунок 1. Декомпозиция задачи
Шаг 2. Установление приоритетов критериев и оценка альтернатив
Описания домов.
Дом А. Самый большой дом с хорошими окрестностями, неинтенсивным движением транспорта. Налоги на дом небольшие. Двор больше чем у домов А и В. Общее состояние не очень хорошее, требуется основательная починка и проведение малярных работ. Финансовые условия неудовлетворительные, так как дом финансируется банком с высокой процентной ставкой.
Дом В. Немножко меньше дома А, далеко от автобусных остановок, вокруг интенсивное движение транспорта. Дом мал, нет основных современных удобств. Но общее состояние хорошее, и на него можно получить закладную с низкой процентной ставкой.
Дом С. Дом маленький, нет современных удобств, высокие налоги. Но он в хорошем состоянии, район безопасен. Двор больше чем у дома В, но намного меньше чем у дома А. Финансовые условия лучше чем у дома А, но не так хороши как у дома В.
Матрица парных сравнений для уровня 2.
| Критерий уровня 1: Общее удовлетворение домом | 1.Размеры | 2.Транспорт | 3.Окрестности | 4.Возраст | 5.Двор | 6.Оборудование | 7.Состояние | 8.Стоимость |
| 1. Размеры | 1/3 | 1/4 | ||||||
| 2. Транспорт | 1/5 | 1/3 | 1/5 | 1/7 | ||||
| 3. Окрестности | 1/3 | 1/5 | ||||||
| 4. Возраст | 1/7 | 1/5 | 1/6 | 1/3 | 1/4 | 1/7 | 1/8 | |
| 5. Двор | 1/6 | 1/3 | 1/3 | 1/2 | 1/5 | 1/6 | ||
| 6. Оборудование | 1/6 | 1/3 | 1/4 | 1/5 | 1/6 | |||
| 7. Состояние | 1/6 | 1/2 | ||||||
| 8. Стоимость |
Матрица парных сравнений для уровня 3.
| Критерий уровня 2: 1. Размеры | А | В | С | 2. Транспорт | А | В | С |
| А | А | 1/5 | |||||
| В | 1/6 | В | 1/7 | 1/8 | |||
| С | 1/8 | 1/4 | С | ||||
| 3. Окрестности | А | В | С | 4. Возраст | А | В | С |
| А | А | ||||||
| В | 1/8 | 1/4 | В | ||||
| С | 1/6 | С | |||||
| 5. Двор | А | В | С | 6. Оборудование | А | В | С |
| А | А | ||||||
| В | 1/5 | 1/3 | В | 1/8 | 1/5 | ||
| С | 1/4 | С | 1/6 | ||||
| 7. Состояние | А | В | С | 8. Стоимость | А | В | С |
| А | 1/2 | 1/2 | А | 1/7 | 1/5 | ||
| В | В | ||||||
| С | С | 1/3 |
При заполнении данных матриц использовалась следующая шкала относительной важности.
Таблица 1. Шкала относительной важности
| Интенсивность относительной важности | Определение |
| Равная важность | |
| Умеренное превосходство одного над другим | |
| Существенное превосходство | |
| Значительное превосходство | |
| Очень сильное превосходство | |
| 2, 4, 6, 8 | Промежуточные решения между двумя соседними оценками. Применяются в компромиссном случае |
| Обратные величины приведенных выше чисел | Если при сравнении пары объектов (А и В, например) получено одно из вышеуказанных чисел (например, 6), то при сравнении симметричной пары (В и А) получаем обратную величину (т.е. 1/6). |
Шаг 3. Синтез приоритетов
По матрицам парных сравнений формируют набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня. Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матрицы, и затем нормализовать результат, получив тем самым вектор приоритетов.
Для вычисления собственных векторов используют следующие приближения. Это геометрическое среднее, когда перемножают элементы в каждой строке и затем извлекают из каждого элемента полученного столбца произведений корень n-й степени (n – размерность матрицы), полученный таким образом столбец чисел нормализуют делением каждого числа на сумму всех чисел столбца. Иной способ заключается в нормализации элементов каждого столбца матрицы при последующем усреднении каждой строки.
Оценки, получаемые в процессе заполнения матриц парных сравнений, оценки локальных приоритетов должны быть согласованными, что определяется с помощью индекса согласованности (ИС). Индекс согласованности для каждой матрицы и для всей иерархии в целом может быть приближенно получен путем следующих вычислений. Сначала суммируется каждый столбец оценок, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом вычисляется приближение наибольшего собственного значения матрицы оценок lmax. Индекс согласованности получают по формуле: ИС=(lmax - n)/(n - 1), где n – размерность матрицы. Для обратносимметричной матрицы всегда lmax³n.
Эту величину (ИС) сравнивают с той величиной, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8, …, 1, 2, …, 9 в обратносимметричной матрице. Средние согласованности для случайных матриц разного порядка приведены в табл. 2.
Таблица 2. Согласованности для случайных матриц
| Размер матрицы | ||||||||||
| Случайная согласованность | 0,58 | 0,90 | 1,12 | 1,24 | 1,32 | 1,41 | 1,45 | 1,49 |
При делении ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получают отношение согласованности (ОС), величина которого не должна превышать 10%, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается значение ОС до 20%. Если ОС выходит из указанных пределов, то необходимо заново исследовать задачу и проверить полученные оценки (суждения).
Приоритеты синтезируют, начиная со 2-го уровня вниз. Локальные приоритеты умножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Каждый элемент 2-го уровня умножается на 1 – вес единственной цели. Это дает составной, или глобальный, приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как к критерию и расположенных уровнем ниже.
 |
 |
Дом А, наименее желательный с точки зрения финансовых условий (критерий с наивысшим приоритетом), оказался победителем, так как этот дом превосходил остальные дома по 4 из 7 критериев.