Основная идея: Идея линеаризации – замена криволинейного участка графика прямолинейным. Эта же идея реализуется и при рассмотрении интеграла.
Опорные знания к понятию первообразной: понятие производной и её физического смысла на примере задачи о мгновенной скорости, правила нахождения производных.
Требования к уровню подготовки: понимать смысл понятия первообразная, находить первообразные для суммы функций и произведения функции на число, вычислять в простейших случаях площади криволинейной трапеции.
Идея введения понятия:
1. 
- площадь прямоугольника 
пути за время 
;
2. 
путь приближается к сумме площадей прямоугольников разбиения;
3. точное значение пути, пройденного за промежуток времени равно площади криволинейной трапеции;
4. площадь криволинейной трапеции связана с первообразной;
5. первообразная(= неопределённому интегралу) и интеграл (определённый) – площадь криволинейной трапеции.
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком непрерывной не меняющей знак (положительный) на [a;b] функции f, [a;b] оси Ox и прямымиx=a и x=b.
Основная идея с точки зрения механики: нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью.
Формула вычисления криволинейной трапеции: 
А) 
Б) 
А)Если функция 
задана на 
удовлетворяет условию 
Б) Если задаются 2 функции, графики которых имеют точку пересечения и пределы интегрирования, тогда криволинейную трапецию приходится разбирать на части и площадь находится как сумма площадей:
В) Также площадь фигуры вычисляется как разность площадей 2-х криволинейных трапеций:
В общем случае, когда фигура ограничена сверху кривой 
, а снизу - 
, формула для вычисления площадей принимает вид
. В этой формуле знаки функций 
и g 
значения не имеют.
Вычисление объемов.
а) Объем тела с известным поперечным сечением.
Если 
есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси OX в точке x, и функция 
интегрируема на 
, то для объема тела 
справедлива формула: 
.
б) Объем тела вращения
Сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Oх, есть круг с радиусом у = f(х). Следовательно, S(x)= 
y 
. Применяя формулу 
, получаем 
.
Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции x = 
(x) ≥ 0 и прямымиx = 0, y = c, y = d (c<d), то 
.
Цели обучения геометрии в профильной школе. Содержание курса геометрии профильной школы. Различные подходы к построению курса стереометрии. Альтернативные учебники.
Изучение геометрии на профильном уровне направлено на достижение следующих целей:
· формирование представлений об идеях и методах математики; о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
· овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественно-научных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
· развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;
· воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.
Содержание курса геометрии профильной школы.
7-9 класс Систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости. Формирование пространственных представлений. Развитие логического мышления. Подготовка к курсу стереометрии.
7 класс Основные свойства геометрических фигур. Равенство треугольников. Сумма углов треугольника.
8 класс Окружность. Четырехугольники. Теорема Пифагора. Движение. Фигуры.
9 класс Подобие фигур. Решение треугольников. Многоугольники. Площадь фигур.
10-11 класс Изучение свойств геометрических тел в пространстве. Развитие пространственных представлений. Основные способы изучения геометрических величин. Развитие логического мышления.
10 класс Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Декартовы координаты и векторы в пространстве.
11 класс Многогранники. Тела вращения. Объем многогранников, тел вращения. Площадь поверхности тел.
Замечание:
Учитель математики в своей профессиональной деятельности реализует содержание математического образования в условиях целей конкретной методики, использует конкретный учебник, конкретный профиль обучения для учащихся данного класса.
На содержание обучения математике в значительной мере влияют современные подходы в виде гуманистической направленности, дифференцированного подхода к обучению математике, различные программы развития учащихся, современные информационные технологии обучения.