Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.
Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.
Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.
Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве
1. Сообщить определения;
2. проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;
3. провести логический анализ формулировки определения;
4. выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;
5. сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.
Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:
1. прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;
2. прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.
Понятие параллельного проектирования вводится с помощью генетического определения. В соответствии с общей особенностью генетических определений используется методическая схема изучения параллельного проектирования:
· одновременно проговорить определения и произвести построения (выполняется учителем);
· одновременно проговорить определения и показать соответствующие построения на готовом рисунке (выполняется учеником); стереть имеющийся на доске рисунок;
· одновременно проговорить определение и выполнить новый рисунок (выполняется учеником).
Методику изучения теорем и их доказательств рассмотрим на примере признака параллельности прямой и плоскости: “Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости”.
Методическая схема:
1) подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;
2) выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
3) сообщать общую идею теоремы;
4) привести план доказательства;
5) предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;
6) осуществить доказательство (ученик);
7) закрепить доказательство путем его воспроизведения;
8) применить теорему к решению задач.
Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а1, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а1.
Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а и поверхности стола?
После опыта задается вопрос: Какую теорему можно сформулировать?
Идея доказательства: (после выполнения рисунка и краткой записи теоремы).
Выполним доп. построение: через параллельные прямые а и а1 проведем плоскость a1.
Док-во от противного:
Учтем, что все общие точки плоскостей a и a1должны принадлежать прямой а1.
План доказательства:
1) проводим плоскость a1;
2) делаем допущение, что а не параллельна a;
3) рассмотрим точку А, точку пересечения прямой а и плоскости a;
4) приходим к выводу, что прямые а и а1пересекаются;
5) противоречие;
6) а//a.
После проведения доказательства решим следующую задачу:
Пусть SABC тетраэдр. MKP- середины ребер SA, SB, SC
Как располагаются прямые MK, KP, MP относительно ABC?
MK -средняя линия DASB => MK //AB => MK//ABC. Аналогично для др. прямых.
2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
Содержание: определения: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости, расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях.
Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых то: пряма а, пересекающая плоскость a, называется перпендикулярной к плоскости a, если она перпендикулярна к любой прямой в плоскости a, проходящей через точку пересечения прямой а с плоскостью a.
Определения, приведенные в этой теме, относятся к генетическим (конструктивным), поэтому при их изучении используют методическую схему, определенную в “2” для параллельного проектирования. Согласно определения к плоскости проводим прямую, кот. пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.
Если эта прямая перпендикулярна к данной прямой, то ее называют перпендикулярной к плоскости. По рисунку куба попросить учащихся обозначить ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA1BB1, ABCD, D1C1CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C1D1, A1D1, BC.
Признак перпендикулярности:
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна к плоскости.
Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А1D1 перпендикулярно к плоскости DD1C1 => А1D1^DD1 и А1D1^D1С1 т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).
Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
1) подвести учащихся к признаку, сформулировать его;
2) выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
3) сообщать общую идею доказательства теоремы;
4) выполнить доп. построения;
5) сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме;
6) привести план доказательства;
7) изложить доказательство;
8) закрепить доказательство по частям;
9) воспроизведения доказательства полностью;
Для того чтобы подвести учащихся к теореме можно воспользоваться и др. моделью, состоящей из листа картона и нескольких спиц. С ее помощью показать, что если прямая перпендикулярна только к одной прямой, расположенной в плоскости a, то этого не достаточно, чтобы прямая а была перпендикулярна к плоскости a.
В учебнике дано слово “пересекающиеся” прямые. Здесь приведено традиционное доказательство, основанное на применении признаков равенства треугольников. Одно из первых доп. построений- проведение через точку А произвольной прямой Х, что необходимо для того чтобы доказать справедливость определения прямой, пересекающей плоскость, этой плоскости. Вторая часть доп. построений: AА1=AА2, произвольная прямая СВ, пересекающая прямые b, х, с. А1С, А1Х, А1В, А2С, А2Х, А2В - для образования треугольников, равенство которых будет доказано.
План доказательства:
| DА1СА2 | А1С= А2С |
| DА1ВА2 | А1В= А2В |
| DА1ВС, А2ВС | DА1ВС=DА2ВС=> ÐА1ВХ= ÐА2ВХ |
| DА1ВХ, А2ВХ | DА1ВХ=DА2ВХ=> А1Х= А2Х |
| DА1ХА2 | х ^ а |
При наличии подробного плана доказательства краткую запись делать не целесообразно. Оставшаяся часть проводится устно.
Пункт 1 плана можно осуществить, направляя учащихся вопросами типа: Какую фигуру надо рассмотреть? Какое ее свойство нужно установить?
После того как доказано, что для DА1СA2выполняется равенство А1С=A2С?, Почему А1С=А2С? Почему А1В=А2В? Почему DА2ВС=DА2ВС? и т. п.
Заключение При изучении аксиом целесообразно показать, что многие из них появились в результате наблюдения и абстрагирования различных видов практической деятельности.
Например, при ознакомлении учащихся с аксиомой прямой линии: “Через две различные точки пространства проходит, и притом только одна, прямая” можно рассказать о способе распиловки бревна на доски вручную.
Эффективными для развития пространственного воображения является использование шарнирных моделей, умение учащихся моделировать условия задач с помощью подручных средств. При изучении многогранников полезны каркасные модели тел, изготовленные учащимися.