Общие правила комбинаторики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Филиал государственного образовательного учреждения высшего

Профессионального образования «Уфимский государственный нефтяной

Технический университет» в г. Салавате

КУРС ЛЕКЦИИ ПО РАЗДЕЛУ МАТЕМАТИКИ

«КОМБИНАТОРИКА И ЭЛЕМЕНТЫЛОГИКИ»

Составитель: Хазиев Ф.М., доцент

Салават 2008

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков и т.д.

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоёв тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Одним из первых занялся подсчётом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера. За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции.

Пусть имеется n предметов, отмеченных числами 1, 2, …, n. Из этих предметов выбираем один, записываем число, на нём изображённое, а сам предмет либо возвращаем назад (в этом случае говорят о выборе с возвращением), либо он убирается и больше не может быть выбран (в этом случае говорят о выборе без возвращения). Повторяем эту процедуру k раз.

Запись, полученная в результате всех действий, называется выборкой из n элементов по k.

Запись, полученная по схеме выбора с возвращением, называется выборкой с повторениями, а запись, полученная по схеме выбора без возвращений, называется выборкой без повторений.

Общие правила комбинаторики

Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Но большинство задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать способами, а другой объект В можно выбрать способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить способами.

При использовании правила суммы в последней формулировке надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-нибудь способом выбора объекта В (или, как мы говорим, чтобы ни одна комбинация не попала сразу в два класса). Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получим лишь способов выбора, где - число совпадений.

Правило произведения: если объект А можно выбрать способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать способами, то выбор пары (А,В) в указанном порядке можно осуществить способами.

Задача 1. В магазине лежат 6 экземпляров романа И.С.Тургенева «Рудин», 3 экземпляра его же романа «Дворянское гнездо» и 4 экземпляра романа «Отцы и дети». Кроме того, есть 5 томов, содержащих романы «Рудин» и «Дворянское гнездо» и 7 томов, содержащих романы «Дворянское гнездо» и «Отцы и дети». Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую по одному экземпляру каждого из этих романов?