КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по высшей математике
Содержание:
1. Пределы последовательностей и функций. 2
2. Производная и дифференциал. 3
3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4
4. Неопределенный интеграл. 7
5. Определенный интеграл. 9
6. Функции нескольких переменных, дифференцированных исчислений. 11
Литература. 12
Пределы последовательностей и функций
Числовой последовательностью 
называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел. Задать числовую последовательность означает задать закон, по которому можно определить значение любого члена последовательности, зная его порядковый номер п; для этого достаточно знать выражение общего или п -го члена последовательности в виде функции его номера: 
.
В основе всех положений математического анализа лежит понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует такой номер 
, зависящий от выбранного e, начиная с которого все члены последовательности отличаются от А по модулю меньше, чем на e, т. е.
при 
.
Если последовательность имеет предел А, то она называется сходящейся (к числу А) и этот факт записывают следующим образом:
.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
. Выберем в некоторой окрестности этой точки какую-нибудь последовательность 
сходящуюся к точке : 
. Значения функции в выбранных точках образуют последовательность 
, и можно ставить вопрос о существовании предела этой последовательности.
Число А называется пределом функции 
в точке , если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А, т. е.
.
Возможно иное определение предела функции в точке: число А называется пределом функции при 
, если для всякого положительного числа e можно указать другое положительное число d (зависящее от выбора e) такое, что абсолютная величина разности 
будет меньше e, когда абсолютная величина разности 
будет меньше 
, но больше нуля
, если 
при 
.
Таким образом, первое определение предела функции основано на понятии предела числовой последовательности, и его называют определением на «языке последовательностей ». Второе определение носит название «на языке 
».
Кроме понятия предела функции в точке, существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности: число А называется пределом функции при 
, если для любого числа 
существует такое число d, что при всех 
справедливо неравенство : 
.
Теоремы о пределах функций являются базой для общих правил нахождения пределов функций. Можно показать, что арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Примеры
Найти предел функции 
Решение: Имеем неопределенность вида 
. Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель 
, который при 
не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.
