Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси ОХ. Следовательно,

Урок 211-212 09.11.2021

Обратная связь: работыприсылать личным сообщением ВК

Задание: проработать конспект, просмотреть видеоурок, выполнить д/з.

Тема урока: Производная

ЦЕЛИ УРОКА:

Обучающие: систематизировать знания и умения по теме «Производная»: формулы и правила дифференцирования, геометрический и физический смысл производной, научить применять полученные теоретические знания при решении различного типа математических задач.

 

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию

Возможность изображать математически

Не только состояния, но и процессы движения».

Ф.ЭНГЕЛЬС.

ХОД УРОКА

 

Сегодня на уроке мы поговорим о производной, о её применении.

-Всем известно высказывание «Мал золотник да дорог». Одним из таких «золотников» в математике является производная. Производная применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, биологии, географии, экономики и других дисциплин. Она позволяет решать задачи просто, красиво, интересно.

Что мы называем производной?

- Зачем нужна производная? Где мы встречаемся с производной и используем её? Можно ли без нее обойтись в математике и не только?

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной - это мгновенная скорость.

Производную применяют для исследования функции и построения ее графика, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции.

Слова «производная» и «произошло» имеют похожие части слова, да и смысл похож: производная происходит от исходной функции (переложив на отношения человека: исходная функция - «мама», её производная «дочь»). Производная - часть математической науки, одно из её звеньев. Нет этого звена - прерваны связи между многими понятиями.

Вповседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны с помощью функций на математическом языке, а между тем производная является мощным орудием исследования функций. Тема “Производная и ее применения” является одним из основных разделов начал математического анализа. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Её решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И. Ньютона и Г.В. Лейбница). Независимо друг от друга Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления и создали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. Исаак Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Готфрид Лейбниц использовал понятие бесконечно малой.

Оказывается также, что с помощью производной можно упрощать алгебраические и тригонометрические выражения, раскладывать на множители, доказывать тождества и неравенства и, даже, решать вопрос о существовании корней квадратного уравнения.

На практике часто приходится решать так называемые задачи на оптимизацию (optimum-наилучший). Инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д.

Можно сделать вывод, что производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре и геометрии. А знаете кто ввел термин «производная»--- Жозеф Луи Лагранж (25.01.1976 – 10.04.1813). Французский математик, астроном и механик.

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин «производная», ему же мы обязаны и современным обозначением производной (с помощью штриха). Термин «вторая производная» и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

ЗАДАНИЕ 1

- Найти производные и сопоставить с верным ответом, написать какая буква рядом

1) f (x) = 2 x – 3 2) f (x) = 3 x 4 – 7 x 3 + 2 x 2 + 1 3) f (x) = x 3 + 2 4) f (x) = (3 – 4 x)2 5) f (x) = (х 3 –2 x)2 6) f (x) = (1 + 2 х)(1 – 2 х) 7) f (x) = 2 sin x 8) f (x) = –1/3 cos (3 x + р /4) 9) f (x) = ctg (2 – 5 x) 10) f (x) = 2 x 3 – 3sin3 x

11) f(x) = ln (5-x)

12) f(x) = 78 π x

13) f(x) = e^2x

14) f(x) = (4х-2)³

ОТВЕТЫ

А) f '(x) = 12 x ³ – 21 x ² + 4 x
Б) f (x) = – 8(3 – 4 x)
В) f '(x) = – 8 x

Г) f '(x) = 2
Д) f '(x) = 2(3 x ² – 2) (x ³ – 2 x)
Е) f '(x) = sin (3 x + р/4)
Ж) f '(x) = 5/ sin²(2 – 5 x)
З) f '(x) = 6 x ² – 9cos 3 x

И) f (x) = 2 cos x
К) f '(x) = 3 x ²

Л) f '(x) = 12 (4х-2)²

М) f '(x) = 2 e^2x

Н) f '(x) = 78 π

О) f '(x) = -1/ (5-x)

1. В чем состоит геометрический смысл производной функции
2. В чем состоит физический смысл производной функции.

3. Какая функция называется дифференцируемой в

Точке?

4. Касательная наклонена под тупым углом к положительному направлению оси ОХ.

Следовательно

Касательная наклонена под острым углом к положительному направлению оси ОХ. Следовательно,

6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней совпадает. Следовательно, …

Задания 2

1. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 14х - х² + 5 в точке с абсциссой х₀ = 3.

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) = 2х²+ 12х -3 в точке с абсциссой х₀ = 2.

3. При движении тела по прямой расстояние S (в метраx) от начальной точки изменяется по закону S(t) = t³ - 4t² + 15t + 2 (t - время движения в секундах). Найти скорость (м/с) тела через 2 секунды после начала движения.

Задание 3

Написать число, которое получится при делении на (-2) т е 1

3На рисунке изображён график функции у = f(x) и девять точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек производная функции f(х) отрицательна?

4.На рисунке изображены график функции у=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции f(x) в точке .(ответ-3

5. Чему равна производная в точке x₀

Задание 4

1.Найти наименьшее значение функции у=(х²+25)/х на отрезке [-10;-1]

Ответ: у=-26