1. Вычислить интеграл .
Ответ. .
2. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле, если задана область интегрирования D:
а) D: ;
б) D: ;
в) D: .
Ответ. а) = ;
б)
;
в) = .
3. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а) ;
б) .
Ответ. а) ; б) .
4. Вычислить двойные интегралы:
а) , если D: , , ;
б) , если D: , , .
Ответ. а) ; б) .
7.2. Вычисление тройного интеграла
в декартовых координатах
Область будем называть правильной в направлении оси Oz, если:
1) любая прямая, параллельная оси Oz и проходящая через внутреннюю точку области V, пересекает ее границу ровно в двух точках;
2) проекцией области V на плоскость Oxy является правильная область S (рис. 7.12).
x |
y |
z |
0 |
1 |
2 |
S |
V |
Рис. 7.12. Правильная область в направлении оси Oz |
При вычислении тройного интеграла
будем считать, что область V правильная в направлении оси Oz, а . «Снизу» область V ограничивает поверхность , а «сверху» – . Проекцию S области V на плоскость Oxy в направлении оси Oy ограничивают кривые и (рис. 7.13).
В декартовых прямоугольных координатах элемент объёма записывается в виде
Получим формулу для вычисления тройного интеграла в декартовых координатах:
= .
x |
y |
z |
0 |
S |
a |
b |
1 |
2 |
Рис. 7.13. Вычисление тройного интеграла
Итак,
(7.4)
Интеграл, стоящий в правой части формулы (7.4), называется трехкратным интегралом.
Интегрирование по области V, правильной в направлении оси Ox или Oy, выполняется аналогично.
Сформулируйте самостоятельно правило вычисления тройного интеграла.
|
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение
=
.
z |
x |
y |
0 |
1 |
2 |
2 |
Рис. 7.14. Область, ограниченная конусом и плоскостями |
,
где V – область, расположенная в первом октанте, ограниченная конусом и плоскостями (рис. 7.14).
Решение
Используя (7.4), имеем
=
=
z |
х |
у |
у = 1 - х |
z = 1 - х- y |
Рис. 7.15. Область, ограниченная плоскостями |
,
если V − область, ограниченная плоскостями .
Решение
Построим область, ограниченную плоскостями (рис. 7.15).
Задания для самостоятельного решения
1. Подумайте, при каком условии все пределы интегрирования в (7.4) будут постоянными величинами.
2. Запишите формулу вычисления тройного интеграла в случае области V, правильной в направлении оси Oy.
3. Вычислите интеграл . Ответ. .
4. Вычислите тройной интеграл , если V – область, ограниченная поверхностями . Ответ. .
7.3. Замена переменных в кратных интегралах
7.3.1. Общая формула замены переменных
Рассмотрим в Е3 три семейства поверхностей
(7.5)
Поверхности называют координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями.
Тогда все точки пространства можно задать тройкой чисел − криволинейными координатами точки. А соотношение (7.5) можно считать формулами преобразования координат. Элемент объёма в этой системе координат тоже криволинейный, и уже нельзя считать, что он равен произведению трех измерений
Если соотношения (7.5) разрешить относительно x, y, z
то получим отображение области V пространства Oxyz на область V1 пространства (рис. 7.16). При этом взаимная однозначность отображений гарантируется условием
|
. (7.6)
z |
x |
y |
Рис. 7.16. Преобразование координат (x, y, z) в ()
Определитель в (7.6) называется функциональным определителем или Якобианом6 [1]. Можно показать, что коэффициент искажения элементарного объёма равен модулю Якобиана, т. е.
Отсюда для тройного интеграла имеем
Для двойного интеграла формулы будут выглядеть проще:
1) формулы преобразования
2) Якобиан
;
3) формула замены переменных в двойном интеграле
.
7.3.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Положение точки М на плоскости можно определить, задав величины:
1) расстояние r от этой точки до начала координат 0;
2) угол между радиусом-вектором и осью Ox (рис. 7.17).
у |
r |
М (х,у) М (r,θ) |
х |
Рис. 7.17. Задание точки на плоскости |
Упорядоченная пара чисел (r, называется полярными координатами точки М. Связь с декартовыми координатами осуществляется при помощи формул
Якобиан
.
Тогда двойной интеграл в полярных координатах
.
Пример 1. Вычислить
Решение
Воспользуемся формулами перехода от декартовых координат к полярным
Так как , то область D – это верхний полукруг радиуса , т. е. изменяется от 0 до . Тогда
Пример 2. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл
y |
x |
2a aa |
Рис. 7.18. Окружность с центром в точке (a; 0) радиуса a |
Решение
Преобразуем уравнение окружности
|
.
Это окружность с центром в точке (a; 0) радиуса a (рис. 7.18). Запишем уравнение окружности в полярных координатах
, т.е. .
Причем изменяется в пределах от до , а r – от 0 до . Тогда
=
.
Пример 3. Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если
.
=3 |
r= 1 |
Рис. 7.19. Область, ограниченная линиями |
Область D изображена на рис. 7.19. Перейдем к полярным координатам
.
Тогда
.
Пример 4. Вычислить интеграл
Решение
Для решения перейдем к обобщённым полярным координатам
При этом область S преобразуется в область , коэффициент искажения элемента площади будет равен , где
Поэтому
7.3.3. Вычисление тройного интеграла
в цилиндрических координатах
Положение любой точки М в пространстве можно определить, задав три величины:
1) расстояние r от этой точки до оси Oz;
2) угол θ между координатной плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz;
3) расстояние z от точки М до координатной плоскости Oxy (рис. 7.20).
4) При этом предполагается, что
x |
z |
y |
0 |
z |
r |
Рис. 7.20. Задание цилиндрических координат |
Цилиндрическая система координат является ортогональной (ортогональны касательные плоскости к координатным поверхностям Координатными поверхностями здесь являются поверхности:
· – цилиндрическая поверхность;
· – плоскости, проходящие через ось Oz;
· – плоскости, перпендикулярные оси Oz.
Якобиан отображения в цилиндрическую систему имеет вид
.
Тогда запись тройного интеграла в цилиндрических координатах
Пример 1. Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам и расставить пределы интегрирования, если
.
Решение
Рис. 7.22. Проекция тела на плоскость XOY |
y = x |
z |
x |
Рис. 7.21. Часть цилиндра, ограниченного плоскостями |
Уравнение цилиндра в цилиндрических координатах примет вид или . Следовательно, в области V координаты и изменяются так: , , . Поэтому
= .
Пример 2. Вычислить тройной интеграл , где V – область, ограниченная поверхностями и .
Решение
z |
х |
у |
или |
Рис. 7.23. Область, ограниченная поверхностями и |
7.3.4. вычисление тройного интеграла
в сферической системе координат
Положение точки М в пространстве можно определить, задав три величины:
1) расстояние r от этой точки до начала координат 0;
2) угол между координатной плоскостью Oxz и плоскостью, проходящей через точку М и ось Oz;
3) угол между радиусом-вектором и осью Oz (рис. 7.24).
При этом считают, что
Упорядоченная тройка чисел (r, называется сферическими координатами точки М. Связь с декартовыми координатами осуществляется при помощи формул
Сферические координаты тоже являются ортогональными. Координатными поверхностями здесь являются
· − сфера радиуса r;
· − плоскость, проходящая через ось Oz;
· − коническая поверхность с углом при вершине и с осью, совпадающей с Oz.
x |
z |
y |
0 |
М |
r |
Рис. 7.24. Задание сферических координат |
Якобиан отображения из декартовой в сферическую систему координат
Поэтому тройной интеграл в сферических координатах записывают в виде
Пример 1. Перейти в тройном интеграле к сферическим координатам и расставить пределы интегрирования
.
Решение
Рис. 7.25. Часть шара, лежащая вне конуса |
x |
z |
или . Следовательно, в области V координаты и изменяются так: , , . Поэтому
= .
Пример 2. Вычислить , если V – полушар и .
Решение
Переходим к сферическим координатам
Задания для самостоятельного решения
1. Подумайте, как запишется при аналогичной замене переменных двойной интеграл и коэффициент искажения элемента площади dS.
2. Перейдя к полярным координатам, вычислить , где область D – круг радиуса R = 1 с центром в начале координат. Ответ. .
3. Вычислить , где D − правая половина кольца между окружностями и . Ответ. .
4. Перейти в тройном интеграле к цилиндрическим координатам r, , z или сферическим координатам , , r и расставить пределы интегрирования:
а) ;
б) .
Ответ. а) ;
б) .
5. Вычислить тройной интеграл , если область V ограничена данными поверхностями:
а) ;
б) ;
в) .
Ответ. а) ; б) ; в) .
6. Переходя к сферическим координатам, вычислить тройной интеграл где V − шар радиуса R. Ответ. .
7.4. Механические приложения кратных интегралов
Пусть в пространстве R3 задано тело T с элементом объема dV (рис. 7.26). Тогда масса этого элемента может быть вычислена по формуле
,
где – функция плотности. Тогда вся масса тела
.
z |
x |
y |
x |
z |
y |
T |
M |
dV |
Рис. 7.26. Тело T в пространстве R3
Элементарный статический момент относительно плоскости хOу
.
Момент всего тела относительно плоскости х 0 у
.
Аналогично находятся моменты относительно других плоскостей:
,
.
Из механики известны формулы для вычисления координат центра тяжести тела
где m – масса тела; – статические моменты относительно плоскостей координат. Тогда
.
Аналогично вычисляются и .
Моменты инерции относительно осей координат соответственно равны:
,
,
.
Пример 1. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного плоскостями .
Решение
Найдем массу рассматриваемого тела
.
Тогда
;
;
.
Пример 2. Вычислить момент инерции фигуры, ограниченной кардиоидой , относительно оси Oх.
Решение
Перейдя к полярным координатам в формуле и полагая , получим
.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти массу дуги окружности , ), если ее линейная плотность равна y. Ответ. 2.
2. Найти массу фигуры, ограниченной линиями , . Ответ. 8.
3. Определить координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями , , , . Ответ. .
4. Найти массу куба , , , если плотность тела . Ответ. 24.
5. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного поверхностями , , , , . Ответ. .
Контрольные вопросы
по теме «Вычисление кратных интегралов»
1. Выясните геометрический смысл следующих двойных интегралов:
а) если
б) если
2. Подумайте, при каком условии пределы интегрирования в формулах
будут постоянными величинами.
3. Подумайте, при каком условии пределы интегрирования в формулах
,
будут постоянными величинами.
4. Подумайте, при каком условии пределы интегрирования в формуле
будут постоянными величинами.
5. Запишите формулу вычисления интеграла
в случае области V, правильной в направлении оси Oх, Оу.
6. Запишите координаты центра тяжести пластины, стержня.
[1] Якоби К. (1804-1851) – немецкий математик.