Критерий Гурвица
Характеристическое уравнение замкнутой системы в общем виде имеет вид:
(91)
Составим определители Гурвица:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
; 
; 
;
; 
; 
.
Программа анализа устойчивости САУ:
% Анализ устойчивости САУ по Гурвицу
% Коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы:
a7=75;
a6=75030;
a5=75030753;
a4=2530753150;
a3=1753150000;
a2=254*1.0e+8;
a1=5*1.0e+9;
% a - вектор коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы
% a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p^1+a(1)
% нумерация начинается с единицы, а не с нуля
a = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7];
disp('Вычисление определителей Гурвица:');
A6=[a(6) a(7) 0 0 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7) 0 0; a(2) a(3) a(4) a(5) a(6) a(7);
0 a(1) a(2) a(3) a(4) a(5); 0 0 0 a(1) a(2) a(3); 0 0 0 0 0 a(1)]
d6=det(A6)
A5=[a(6) a(7) 0 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7) 0; a(2) a(3) a(4) a(5) a(6);
0 a(1) a(2) a(3) a(4); 0 0 0 a(1) a(2)]
d5=det(A5)
A4=[a(6) a(7) 0 0; a(4) a(5) a(6) a(7); a(2) a(3) a(4) a(5); 0 a(1) a(2) a(3)]
d4=det(A4)
A3=[a(6) a(7) 0; a(4) a(5) a(6); a(2) a(3) a(4)]
d3=det(A3)
A2=[a(6) a(7); a(4) a(5)]
d2=det(A2)
A1=[a(6)]
d1=det(A1)
if d6>0 && d5>0 && d4>0 && d3>0 && d2>0 && d1>0
s='Так как все определители Гурвица больше нуля, то система УСТОЙЧИВА';
else
s='Так как не все определители Гурвица положительны, то система НЕ УСТОЙЧИВА';
end
disp(s);
Результат работы программы:
>> Вычисление определителей Гурвица:
A6 = 1.0e+010 *
0.0000 0.0000 0 0 0 0
0.2531 0.0075 0.0000 0.0000 0 0
2.5400 0.1753 0.2531 0.0075 0.0000 0.0000
0 0.5000 2.5400 0.1753 0.2531 0.0075
0 0 0 0.5000 2.5400 0.1753
0 0 0 0 0 0.5000
d6 = 8.7654e+050
A5 = 1.0e+010 *
0.0000 0.0000 0 0 0
0.2531 0.0075 0.0000 0.0000 0
2.5400 0.1753 0.2531 0.0075 0.0000
0 0.5000 2.5400 0.1753 0.2531
0 0 0 0.5000 2.5400
d5 = 1.7531e+041
A4 = 1.0e+010 *
0.0000 0.0000 0 0
0.2531 0.0075 0.0000 0.0000
2.5400 0.1753 0.2531 0.0075
0 0.5000 2.5400 0.1753
d4 = 1.3753e+031
A3 = 1.0e+010 *
0.0000 0.0000 0
0.2531 0.0075 0.0000
2.5400 0.1753 0.2531
d3 = 1.3757e+022
A2 = 1.0e+009 *
0.0001 0.0000
2.5308 0.0750
d2 = 5.4398e+012
A1 = 75030
d1 = 75030
Так как все определители Гурвица больше нуля, то система УСТОЙЧИВА.
Критерий Михайлова
Построим годограф Михайлова – кривую, которая описывается характеристическим вектором на комплексной плоскости. Характеристический вектор получим, подставив 
в характеристический полином (знаменатель передаточной функции замкнутой системы):
Программа анализа устойчивости САУ:
disp (' *** Анализ устойчивости по критерию Михайлова ***');
% знаменатель характеристического уравнения замкнутой системы
% a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p^1+a(1), где вектор a найден ранее
for i=1:1101
w(i)=i-1;% вектор значений частот
end
N=length(w);
for k=1:N
M(k)=-a(7)*w(k)^6+a(6)*j*w(k)^5+a(5)*w(k)^4-a(4)*j*w(k)^3-a(3)*w(k)^2+a(2)*j*w(k)+a(1);
end
x=real(M); % действительная часть
y=imag(M); % мнимая часть
plot(x,y); grid on;
В результате получаем график (рис. 8,а,б).
а)
б)
Рис.8. Кривая Михайлова: а) 
, б) 
Характеристический полином имеет степень 6-го порядка, следовательно, для устойчивости данной системы необходимо, чтобы характеристический вектор описывал угол 
, т.е. последовательно проходил шесть квадрантов комплексной плоскости. Так как это условие выполняется, то система является устойчивой.
Критерий Найквиста
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду амплитудно-фазовой характеристики (АФЧХ) разомкнутой системы.
АФЧХ разомкнутой системы, строим в программе MATLAB/SIMULINK с помощью инструмента LTI Viewer.
Рис.9. АФЧХ (кривая Найквиста) разомкнутой системы
Так как кривая Найквиста не охватывает точку (-1;i0), то система является устойчивой.
Запасы устойчивости
Запасы устойчивости определим графически по ЛЧХ разомкнутой системы (рис.7).
Запас устойчивости по амплитуде 
.
По определению частота среза 
- это частота, при которой АФЧХ пересекает окружность единичного радиуса с центром в точке (0;i0). Но, так как кривая Найквиста расположена внутри единичной окружности (рис.9) и не пересекает её, то частота среза отсутствует. Откуда следует, что фаза может изменяться в любых пределах без риска для устойчивости системы.
Вывод: система устойчива.
Оценка точности САУ
Если передаточную функцию по ошибке
представить в виде степенного ряда
,
то коэффициенты 
, 
, 
, … называют коэффициентами ошибок. Их можно определить по известным формулам
Затем величину ошибки можно рассчитать по формуле
В задании требуется определить ошибку при xВХ(t) = 1; t; t2.
Программа расчёта величины ошибки:
disp (' *** Определение коэффициентов ошибок ***');
syms p Wd x dx t % p, Wd, x, dx - символьные переменные
a(2)=252.5*1.0e+8;
disp (' Передаточная функция по ошибке ');
Wd=(a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+a(4)*p^3+a(3)*p^2+a(2)*p+a(1))/(a(7)*p^6+a(6)*p^5+a(5)*p^4+
+a(4)*p^3+a(3)*p^2+(a(2)+0.075*1.0e+8)*p+a(1));
pretty(Wd) % вывод в удобочитаемом виде
disp (' Коэффициенты ошибок ');
S0=subs(diff(Wd,p,0),p,0)
S1=subs(diff(Wd,p,1),p,0)
S2=subs(diff(Wd,p,2),p,0)
S3=subs(diff(Wd,p,3),p,0)
S4=subs(diff(Wd,p,4),p,0)
S5=subs(diff(Wd,p,5),p,0)
S6=subs(diff(Wd,p,6),p,0)
disp (' ');
disp ('Определение ошибки при различных функциях входного сигнала');
x=1
dx=eval(S0*x+S1*diff(x,t)+S2*diff(x,t,2)+S3*diff(x,t,3)+S4*diff(x,t,4)+S5*diff(x,t,5)+S6*diff(x,t,6))
%pretty(dx)
x=t
dx=eval(S0*x+S1*diff(x,t)+S2*diff(x,t,2)+S3*diff(x,t,3)+S4*diff(x,t,4)+S5*diff(x,t,5)+S6*diff(x,t,6));
pretty(dx)
x=t^2
dx=eval(S0*x+S1*diff(x,t)+S2*diff(x,t,2)+S3*diff(x,t,3)+S4*diff(x,t,4)+S5*diff(x,t,5)+S6*diff(x,t,6));
pretty(dx)
Результат работы программы:
*** Определение коэффициентов ошибок ***
Передаточная функция по ошибке
6 5 4 3 2
(75 p + 75030 p + 75030753 p + 2530753150 p + 1753150000 p
/ 6 5 4
+ 25250000000 p + 5000000000) / (75 p + 75030 p + 75030753 p
/
3 2
+ 2530753150 p + 1753150000 p + 25257500000 p + 5000000000)
Коэффициенты ошибок
S0 = 1
S1 = -0.0015
S2 = 0.0152
S3 = -0.2265
S4 = 4.5312
S5 = -113.3155
S6 = 3.4005e+003
Определение ошибки при различных функциях входного сигнала
x = 1
dx = 1
x = t
t - ----------------------
x = t^2
2 211106232533 34124900276475
t - --------------------- t + ------------------------
70368744177664 1125899906842624
При 
(система статическая).
При 
(скоростная ошибка линейно возрастает с течением времени).
При 
(ошибка от ускорения с течением времени изменяется по квадратичному закону).