Параллельность трех прямых

Класс Геометрия

Дата 10.11

Урок №

Тема: "Параллельные прямые в пространстве.

Параллельность трех прямых"

Цели:

· рассмотреть понятие параллельных прямых в пространстве; дать определение параллельных прямых в пространстве; доказать теорему единственности прямой, параллельной данной.

· Развивать мышление, внимание, культуру математической речи;

· Воспитывать аккуратность, интерес к математике, уверенность в своих способностях в учебе.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

I.Организационный момент.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Проверка домашнего задания.

2) Устный опрос.

1. Назовите известные вам аксиомы стереометрии;

2. Назовите следствия из аксиом

III. Изучение нового материала

Ранее в планиметрии мы с вами уже рассматривали взаимное расположение двух прямых на плоскости. Напомню, что возможны три случая:

1 случай. Прямые параллельны, т.е. две прямые не имеют общих точек.

2 случай. Прямые пересекаются, т.е. две прямые имеют одну общую точку.

3 случай. Прямые совпадают, т.е. имеют более чем одну общую точку.

Теперь перейдем к стереометрии. Напомню, что стереометрия изучает свойства фигур в пространстве.

Давайте подробно остановимся на случае с параллельными прямыми в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямые а и b параллельны, то это обозначают следующим образом . Читают «прямая а параллельна прямой b».

Посмотрим внимательно на рисунок.

Здесь прямые а и b параллельны. А вот прямые а и c, b и d– не параллельны.

Справедлива теорема о параллельности прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Замечание. Если прямые в пространстве параллельны, то на чертеже они обязательно изображаются параллельными прямыми.

А вот если прямые на чертеже изображены параллельными прямыми, то в пространстве эти прямые не обязательно параллельны.

Задание. Дан куб . Параллельны ли прямые: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?

Решение. Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Напомню, что куб – это прямоугольный параллелепипед, все грани которого – равные квадраты.

Рассмотрим прямые AB и DC. Они лежат в одной плоскости ABC и не пересекаются. Следовательно, прямые AB и DC параллельны.

Аналогично и прямые BB₁ и CC₁. Они лежат в одной плоскости BB₁C₁ и не пересекаются. Следовательно, параллельны.

Теперь рассмотрим прямые AB и BB₁. Хоть они и лежат в одной плоскости ABB₁, но пересекаются в точке B. Значит, прямые AB и BB₁ не параллельны.

Осталось рассмотреть прямые AB и CC₁. Они не пересекаются, но и не лежат в одной плоскости. Значит, они не параллельны.

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

Параллельность трех прямых

Теперь рассмотрим лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Из курса планиметрии вы помните, что если три прямые лежат в одной плоскости и две из них параллельны третьей прямой, то эти две прямые параллельны. Аналогичное утверждение справедливо и для трех прямых в пространстве. Сформулируем и докажем это утверждение.

Теорема (Признак параллельности прямых).

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.