Программа экзамена по дисциплине «Математика»
1. Определение матрицы. Прямоугольные и квадратные матрицы. Транспонированная матрица. Вектор-строка, вектор-столбец.
2. Действия над матрицами. Сумма двух матриц. Произведение числа 
на матрицу.
3. Произведение матриц.
4. Нулевая матрица. Диагональная матрица. Единичная матрица, ее свойства.
5. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Миноры. Алгебраические дополнения.
6. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.
7. Транспонирование определителя. Теорема о транспонировании. Теорема об общем множителе строки (столбца) определителя. Определитель с нулевой строкой (столбцом).
8. Теорема о перестановке двух строк (столбцов) определителя. Признак нулевого определителя.
9. Теорема о представлении определителя в виде суммы определителей.
10. Теорема о тождественном преобразовании определителя.
11. Ранг матрицы.
12. Элементарные преобразования матрицы.
13. Системы линейных уравнений. Решение системы. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы. Однородные и неоднородные системы.
14. Теорема Кронекера-Капелли.
15. Теорема о числе решений системы m линейных уравнений с n неизвестными.
16. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Крамера.
17. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений матричным методом.
18. Обратная матрица.
19. Определение линейного (векторного) пространства. Примеры линейных пространств.
20. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису.
21. Определения геометрического вектора и его модуля. Сумма, разность векторов. Их свойства. Произведение вектора на число. Коллинеарные векторы.
22. Проекция вектора на вектор. Ее свойства.
23. Геометрический смысл координат вектора в декартовом базисе. Прямоугольные декартовы координаты. Разложение вектора в декартовом базисе.
24. Линейные операции над векторами, заданными координатами.
25. Направляющие косинусы. Теоремы о связи направляющих косинусов с координатами вектора в декартовом базисе.
26. Угол между векторами. Условие перпендикулярности и коллинеарности векторов.
27. Координаты вектора, заданного точками начала и конца. Расстояние между двумя точками.
28. Определение векторного произведения векторов. Геометрический смысл модуля векторного произведения. Теорема об ориентации векторного произведения. Алгебраические свойства векторного произведения.
29. Смешанное произведение векторов. Вычисление смешанного произведения векторов в декартовом базисе. Геометрический смысл векторного произведения векторов. Условие компланарности трех векторов.
30. Плоскость. Общее уравнение плоскости.
31. Угол между плоскостями. Условия перпендикулярности, параллельности и совпадения плоскостей.
32. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
33. Нормальное уравнение плоскости и его свойства.
34. Прямая на плоскости.
35. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки.
36. Приведение уравнения прямой, заданной пересечением плоскостей, к каноническому виду. Угол между прямыми. Условия перпендикулярности и параллельности прямых.
37. Угол между прямой и плоскостью. Условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.
38. Кривые второго порядка. Окружность.
39. Эллипс, его каноническое уравнение.
40. Гипербола, ее каноническое уравнение.
41. Парабола, её каноническое уравнение.
42. Функция одной переменной. Область определения. Способы задания.
43. Элементарные функции.
44. Предел функции одной переменной. Односторонние пределы. Бесконечно большой аргумент и функция. Предел функции при бесконечно большом аргументе.
45. Ограниченные и неограниченные функции.
46. Бесконечно малые функции. Свойства бесконечно малых функций. Теорема о представлении функции числом и бесконечно малой.
47. Теоремы о пределах суммы и произведения функций.
48. Теорема о пределе частного двух функций. Теорема о пределе функции, заключенной между двумя другими функциями.
49. Первый замечательный предел.
50. Второй замечательный предел.
51. Непрерывность функции в точке, на отрезке.
52. Точки разрыва функций, их классификация.
53. Свойства непрерывных функций.
54. Определение понятия производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.
55. Физические толкования производной (теплоемкость, линейная плотность).
56. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке.
57. Производная постоянной, независимой переменной, суммы, произведения функций.
58. Производная частного двух функций.
59. Производные взаимно обратных функций.
60. Производная сложной функции.
61. Производная функции, заданной параметрически.
62. Производные от синуса и косинуса.
63. Производные от тангенса и котангенса.
64. Производные от арксинуса и арккосинуса.
65. Производные от арктангенса и арккотангенса.
66. Логарифмическое дифференцирование.
67. Производная логарифмической функции.
68. Производная показательно – степенной функции.
69. Производная степенной функции.
70. Производная показательной функции.
71. Производные от гиперболических функций.
72. Определение понятия дифференциала функции одной переменной, его аналитический смысл.
73. Геометрический смысл дифференциала.
74. Инвариантность формы дифференциала.
75. Производные и дифференциалы высших порядков. Физическое толкование второй производной.
76. Теорема Ферма.
77. Теорема Ролля (теорема о корнях производной).
78. Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях).
79. Теорема Коши (теорема об отношении приращений двух функций).
80. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
81..Условия возрастания и убывания функции. Необходимый признак монотонности.
82. Экстремумы функции. Необходимое условие существования локального экстремума. Достаточное условие существования экстремума по первой производной.
83. Исследование функции на максимум и минимум о помощью второй производной. Достаточный признак существования экстремума по второй производной.
84. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
85. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба.
86. Асимптоты. Вертикальные и наклонные асимптоты.
87. Схема полного исследования функции и построения графиков на основе исследования.
88. Поверхности второго порядка. Метод сечений для построения поверхностей второго порядка. Сфера. Эллипсоид.
89. Однополостный гиперболоид.
90. Двуполостный гиперболоид.
91. Конус второго порядка.
92. Эллиптический параболоид.
93. Гиперболический параболоид.
94. Цилиндрические поверхности.
95. Определение понятия первообразной.
Основная теорема о первообразных.
96. Понятие неопределенного интеграла.
97. Теорема существования первообразной и неопределенного интеграла.
98. Таблица основных интегралов.
99. Свойства неопределенных интегралов.
100.Основные методы интегрирования. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям.
101.Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
102.Разложение рациональной дроби на простейшие и их интегрирование. Интегрирование рациональных дробей.
103.Интегрирование простейших иррациональных функций.
104.Интегрирование тригонометрических функций с помощью тригонометрических подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка.
105.Понятие об интегрируемости в конечном виде или о функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции.
106.Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
107.Теорема существования определенного интеграла.
108.Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
109.Производная от определенного интеграла по верхнему пределу.
110.Формула Ньютона- Лейбница.
111.Определенный интеграл как приращение первообразной на отрезке интегрирования.
112.Метод замены переменной в определенном интеграле.
113.Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.
114.Определенный интеграл от четных и нечетных функций по симметричному отрезку.
115.Приближенное вычисление определенных интегралов.
116.Физические приложения определенных интегралов.
117.Вычисление площади криволинейной трапеции в прямоугольных координатах.
118.Вычисление площади криволинейного сектора в полярных координатах.
119.Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений.
120.Объем тела вращения.
121.Длина дуги плоской кривой в прямоугольных и полярных координатах.
122.Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций. Признак сходимости несобственных интегралов.
123.Определение двойного интеграла.
124.Теорема существования двойного интеграла.
125.Геометрический смысл двойного интеграла.
126.Свойства двойного интеграла. Теорема о среднем.
127.Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах. Сведение двойного интеграла к повторному.
128.Замена переменных в двойном интеграле (общий случай).
129.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
-случай, когда полюс не содержится внутри области интегрирования,
-полюс содержится внутри области интегрирования,
-область касается полюса.
130.Вычисление площади с помощью двойных интегралов.
131.Вычисление объема с помощью двойного интеграла.
132.Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
133.Вычисление массы пластинки с помощью двойных интегралов.
134.Вычисление статических моментов плоской фигуры (пластинки) относительно осей координат.
135.Вычисление координат центра масс пластинки (плоской фигуры).
136.Вычисление момента инерции пластинки относительно осей координат. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат.
137.Определение тройного интеграла.
138.Вычисление массы и объема тела с помощью тройного интеграла.
139.Вычисление тройного интеграла в декартовых координат.
140.Замена переменных в тройном интеграле (общий случай).
141.Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
142.Тройной интеграл в сферических координатах.
143.Моменты инерции тела V с плотностью r(x, y, z) относительно осей координат и относительно начала координат.
144.Координаты центра масс тела V плотностью r(x, y, z) и однородного тела (r = const).
145.Определение и вычисление криволинейного интеграла первого рода.
146.Некоторые приложения криволинейного интеграла первого рода
147.Криволинейные интегралы второго рода. Определение и свойства.
148.Вычисление криволинейного интеграла второго рода.
149.Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
150.Формула Грина.
151.Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.
152.Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования
153.Нахождение функции по ее полному дифференциалу.
154.Поверхностные интегралы 1-го рода.
155.Поверхностные интегралы 2-го рода.
156.Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса.