Свойства перпендикулярных прямых





1. Через точку А (рис. 3) можно провести только одну перпендикулярную прямую АВ к прямой СD; остальные прямые, проходящие через точку А и пересекающие СD, называются наклонными прямыми (рис. 3, прямые АЕ и АF).

2. Из точки A можно опустить перпендикуляр на прямую CD; длина перпендикуляра (длина отрезка АВ), проведенного из точки А на прямую CD,— это самое короткое расстояние от A до CD (рис. 3).

3. Несколько перпендикуляров, проведенных через точки прямой к прямой, никогда между собой не пересекаются (рис. 4).

Признаки: На плоскости один признак - 4 прямых угла (90).
В 3-мерном пространстве: 2 прямые перпендикулярны, если они соотв. параллельны 2-м прямым, лежащим в одной плоскости и перпендикулярным друг другу.
Обычно говорят о признаках перп-сти прямой и плоскости...

Перпендикулярность плоскостей

Определение Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Доказательство.
Теорема 5 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство: Пусть - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

 

Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения. Смотри также опорную задачу №1.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Доказательство.
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Доказательство.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Доказательство.

 

 

Вопрос 2.

1. Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 

Параллельность прямых a и b обозначается так: a∥b илиb∥a.

 

Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и при том только одну.

 

Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и при том только одну.

 

Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

(1. рис.)

(2. рис.)

 

Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

 

Теорема 3.2.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Это свойство называется транзитивностью параллельности прямых.

Доказательство

 

Теорема 3.3.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

Доказательство

 

Свойство параллельных прямых задается следующей теоремой, обратной к теореме 3.1.

Теорема 3.4.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство

 

На основании этой теоремы легко обосновываются следующие свойства.

  • Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответствующие углы равны.
  • Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Следствие 3.2.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Понятие параллельности позволяет ввести следующее новое понятие, которое в дальнейшем понадобится в 11-й главе.

Два луча называются одинаково направленными, если существует такая прямая, что, во-первых, они перпендикулярны этой прямой, во-вторых, лучи лежат в одной полуплоскости относительно этой прямой.

Два луча называются противоположно направленными, если каждый из них одинаково направлен с лучом, дополнительным к другому.

Одинаково направленные лучи AB и CD будем обозначать: а противоположно направленные лучи AB и CD

 

 

Параллельность плоскостей





Читайте также:
Образование Киргизкой (Казахской) АССР: Предметом изучения Современной истории Казахстана являются ...
Основные факторы риска неинфекционных заболеваний: Основные факторы риска неинфекционных заболеваний, увеличивающие вероятность...
История государства Древнего Египта: Одним из основных аспектов изучения истории государств и права этих стран является...
Образцы сочинений-рассуждений по русскому языку: Я думаю, что счастье – это чувство и состояние полного...

Рекомендуемые страницы:



Вам нужно быстро и легко написать вашу работу? Тогда вам сюда...

Поиск по сайту

©2015-2022 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-08-26 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:


Мы поможем в написании ваших работ!
Обратная связь
0.012 с.