Фурье-образ усредненной функции

КОНЕЧНОЗНАЧНЫЕ СИНГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ

Функция Хевисайда

При изучении распространения сигнала по проводам Оливер Хевисайд в конце XIX века ввел функцию включения

(3.1)

На рисунках функция включается в точке , где . При функция , при функция . Из рисунков получаем

. (3.2)

Из нормировки дельта-функции следует

тогда

, (3.3)

где использовано дифференцирование интеграла по пределу

если , то ;

если , то .

Из (3.1) получаем

. (3.4)

С учетом (3.4) находим свертку

Меняем знак аргумента функции и используем (3.4)

Дифференцируем последние соотношения

. (3.5)

Функция знака аргумента

От лат. sīgnum – «знак»

(3.11)

Свойства

Функция нечетная

. (3.12)

Выполняется

кроме точки .

Связь с функцией Хевисайда и дельта-функцией

Графически получаем

, (3.13)

откуда

. (3.13а)

Графически находим

, (3.13б)

тогда с учетом (3.3)

получаем

. (3.14)

Фурье-образ

Используем (1.1)

где для сходимости интегралов при введено

, .

Используем

получаем фурье-образ функции знака

. (3.19)

Из (3.19) и (3.13), (2.35) в виде

получаем фурье-образ функции Хевисайда

. (3.20)

Используем теорему Фурье о парах функций:

если ,

то .

С учетом (3.19) полагаем

, ,

тогда

Используем (3.12) и (3.13а)

получаем

. (3.21)

Прямоугольная функция

Прямоугольная функция симметричная, имеет единичную ширину, и скачок единичной величины при :

(3.27)

Произвольная прямоугольная функция

имеет ширину b и высоту h. Она симметрична относительно точки c, как показано на рисунке.

Координату оси симметрии находим из условия на аргумент функции

получаем

Координаты точек скачка находим из условий на аргумент функции

получаем

Ширина функции

Свойства

Функция четная

имеет значения 0 или 1, тогда

, (3.28)

Связи с другими функциями

Используя графики функций, самостоятельно доказать:

. (3.29)

Выполняется

Доказательство

Сравниваем положения точек скачка функций. Для находим

, .

Результат совпадает со скачками . При обе функции равны единице. При обе функции равны нулю.

Фурье-образ

Используем (1.1) и (3.27)

получаем

. (3.31)

Используя (3.31) и (1.1), (1.2) доказать самостоятельно

, (3.32)

. (3.33)

Функция sink

Название от термина «синус»

. (3.35)

Согласно (3.31) является Фурье-образом прямоугольной функции

Оптическое преобразование Фурье, осуществляемое тонкой линзой, как описано на одной из первых лекциях, применяем к функции . Она моделирует щель шириной 1, через которую идет световая волна, как показано на рисунке. Функция описывает амплитуду дифрагированной волны на щели единичной ширины.

Дифракция на щели

Для щели шириной A получаем

, (3.35а)

Чем шире щель, тем ближе к началу координат нули функции sink, и наоборот, в соответствии с теоремой Фурье о частотной полосе.

Функция четная

Нули функции при

Выполняется

Из (3.35) с учетом «замечательного предела» получаем

. (3.36)

Числовой расчет дает положения и величины экстремумов

\| x\|		1,43	2,46	3,47
		–0,22	0,13	–0,09

Фурье-образ

Спектр является прямоугольной функцией, равной единице в полосе и нулю вне этой полосы

. (3.41а)

Доказательство

Используем теорему Фурье о парах функций:

если ,

то .

Полагаем

используя (3.31)

берем

Учитываем

и получаем (3.41а).

Доказать самостоятельно

. (3.41б)

При из (3.41б) следует, что функция имеетспектр равный единице в полосе , и нулевой вне этой полосы.

Из (3.41б) при получаем

. (3.38)

Площадь под кривой равна единице.

Из (3.32)

при находим

. (3.37)

Усреднение функции

Среднее по интервалу Т около точки x равно сумме значений функции в указанном интервале, деленное на ширину интервала.

Усреднение определяется в виде

. (3.42)

Используем (3.27)

находим

Получена прямоугольная функция величиной 1 в интервале шириной T с центром в точке a. Вне этого интервала функция равна нулю. При получаем интервал интегрирования в (3.42), тогда