ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА
Гамма-функция
. (4.1)
Является обобщением факториала на случай произвольного аргумента. Функцию исследовал Леонард Эйлер в 1730 г.
Анализ интеграла
Область интегрирования 
разбиваем на участки 
и 
,
где
, 
.
1. Функция 
конечна при любых z.
Доказательство:
На верхнем пределе 
убывает с ростом t быстрее любой степенной функции, и интеграл сходится при любых z.
На нижнем пределе
– конечно при любых z.
2. Функция имеет полюса первого порядка при 
Доказательство:
В интеграл подставляем
,
получаем
При положительном 
используем 
, тогда
– конечное,
где учтено
.
При отрицательном 
, где 
, для 
получаем
.
Слагаемое 
дает полюс первого порядка, тогда
, (4.3)
. (4.4)
Доказательство (4.4):
Из (4.3)
.
Рекуррентное соотношение
В рекуррентном соотношении одна функция встречается более одного раза, от лат. recurro – «возвращаться». Интегрируем по частям
,
где
, 
,
, 
,
. (4.5)
Связь с факториалом
,
Из (4.5):
при 
, 
;
при 
, 
;
при 
, 
;
,
, (4.6)
. (4.7)
Интегралы, выражающиеся через гамма-функцию
В (4.1)
замена аргумента
, 
дает
,
переобозначаем 
:
. (4.8)
В (4.8) полагаем
, 
, 
,
получаем
,
,
. (4.8а)
В интеграле
(4.8)
заменяем аргумент
, 
, 
,
получаем
,
где заменен параметр
, 
.
В полученном выражении
переобозначаем 
и 
. (4.9)
Интеграл Пуассона
Из (4.9) при
, 
получаем
. (4.9а)
Произведение гамма-функций
В (4.1)
, 
замены
, 
,
, 
дают
.
Переходим к полярным координатам 
:
, 
, 
,
,
получаем
.
Первый интеграл после замены 
равен 
, тогда
. (4.10)
Гамма-функция полуцелого аргумента
Из (4.10) при 
с учетом 
:
Из при 
:
,
,
.
Из при 
:
,
,
, (4.11)
где учтено
.
Бета-функция
(4.13)
Связь с гамма-функцией
В (4.13) заменяем аргумент
, 
, 
,
, 
; 
, 
,
получаем
,
сравниваем с
. (4.10)
Следовательно,
, (4.14)
. (4.15)
Интеграл со степенными функциями
В (4.14) заменяем аргумент
, 
,
,
, 
,
, 
и параметры
, 
,
находим
. (П.2.3)
Формула удвоения 
Из
(4.13)
при 
.
Учтен график подынтегральной функции 
.
Заменяем аргумент
,
,
,
получаем
,
где учтены
. (4.13)
Используем
. (4.14)
находим
,
.
Получаем формулу удвоения
. (4.16)
Формула дополнения 
Из
(4.10)
при 
, 
получаем
, (4.18а)
где сделана замена
,
,
,
, 
,
, 
.
Последнее равенство в (4.18а) – справочный интеграл. В результате
. (4.18)
В (4.18) замена 
с учетом 
дает
. (4.19)
В (4.18) замена 
с учетом 
дает
. (4.20)
В (4.20) используем 
. (4.21)
В (4.20) используем 
. (4.22)
Гамма-функция отрицательного полуцелого аргумента
Из
(4.18)
при
, 
используем
,
получаем
.
Учитываем
, (4.11)
находим
. (4.17)
Частные результаты
,
,
.
Формула Стирлинга
Факториал с большим аргументом
, 
. (4.23)
Получил Джеймс Стирлинг в 1730 г. Для доказательства (4.23) используем
. (4.7)
Интеграл вычисляем по формуле Лапласа.
Асимптотическая формула Лапласа
В асимптотическом пределе 
выполняется приближенная формула
. (4.24)
Получил Пьер Симон Лаплас (1749–1827).
Доказательство:
Если , то 
сильно изменяется даже при малой вариации 
. Поэтому главный вклад в интеграл
вносит область t около 
– положения максимума . Условия максимума
, 
.
Разлагаем в ряд Тейлора около точки и оставляем первые три слагаемые
.
Если положение максимума находится далеко от концов области интегрирования 
, то они не вносят заметного вклада в интеграл, поэтому полагаем
, 
.
В результате
,
где заменен аргумент 
. Используем интеграл Пуассона
, (4.9а)
где 
и получаем
. (4.24)
Доказательство формулы Стирлинга
. (4.23)
Используем
,
где
,
,
.
Используем формулу Лапласа
(4.24)
при
, 
, 
, 
,
получаем
. (4.24а)
Находим из условия :
,
, 
,
,
,
,
,
и из (4.24а) получаем формулу Стирлинга
. (4.23)
Учет большего числа членов разложения в ряд Тейлора дает
. (4.26)
Пример 1
Доказать
, 
. (П.2.5)
Слагаемое 
в показателе экспоненты (П.2.5) устраняем заменой 
, тогда
.
Полагаем 
, находим
,
тогда
.
Интеграл дает
.
Используем интеграл Пуассона
, (4.9а)
получаем (П.2.5).
Пример 2