ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА
Гамма-функция
. (4.1)
Является обобщением факториала на случай произвольного аргумента. Функцию исследовал Леонард Эйлер в 1730 г.
Анализ интеграла
Область интегрирования разбиваем на участки
и
,
где
,
.
1. Функция конечна при любых z.
Доказательство:
На верхнем пределе убывает с ростом t быстрее любой степенной функции, и интеграл сходится при любых z.
На нижнем пределе
– конечно при любых z.
2. Функция имеет полюса первого порядка при
Доказательство:
В интеграл подставляем
,
получаем
При положительном используем
, тогда
– конечное,
где учтено
.
При отрицательном , где
, для
получаем
.
Слагаемое дает полюс первого порядка, тогда
, (4.3)
. (4.4)
Доказательство (4.4):
Из (4.3)
.
Рекуррентное соотношение
В рекуррентном соотношении одна функция встречается более одного раза, от лат. recurro – «возвращаться». Интегрируем по частям
,
где
,
,
,
,
. (4.5)
Связь с факториалом
,
Из (4.5):
при ,
;
при ,
;
при ,
;
,
, (4.6)
. (4.7)
Интегралы, выражающиеся через гамма-функцию
В (4.1)
замена аргумента
,
дает
,
переобозначаем :
. (4.8)
В (4.8) полагаем
,
,
,
получаем
,
,
. (4.8а)
В интеграле
(4.8)
заменяем аргумент
,
,
,
получаем
,
где заменен параметр
,
.
В полученном выражении
переобозначаем и
. (4.9)
Интеграл Пуассона
Из (4.9) при
,
получаем
. (4.9а)
Произведение гамма-функций
В (4.1)
,
замены
,
,
,
дают
.
Переходим к полярным координатам :
,
,
,
|
,
получаем
.
Первый интеграл после замены равен
, тогда
. (4.10)
Гамма-функция полуцелого аргумента
Из (4.10) при с учетом
:
Из при
:
,
,
.
Из при
:
,
,
, (4.11)
где учтено
.
Бета-функция
(4.13)
Связь с гамма-функцией
В (4.13) заменяем аргумент
,
,
,
,
;
,
,
получаем
,
сравниваем с
. (4.10)
Следовательно,
, (4.14)
. (4.15)
Интеграл со степенными функциями
В (4.14) заменяем аргумент
,
,
,
,
,
,
и параметры
,
,
находим
. (П.2.3)
Формула удвоения
Из
(4.13)
при
.
Учтен график подынтегральной функции .
Заменяем аргумент
,
,
,
получаем
,
где учтены
. (4.13)
Используем
. (4.14)
находим
,
.
Получаем формулу удвоения
. (4.16)
Формула дополнения
Из
(4.10)
при ,
получаем
, (4.18а)
где сделана замена
,
,
,
,
,
,
.
Последнее равенство в (4.18а) – справочный интеграл. В результате
. (4.18)
В (4.18) замена с учетом
дает
. (4.19)
В (4.18) замена с учетом
дает
. (4.20)
В (4.20) используем
. (4.21)
В (4.20) используем
. (4.22)
Гамма-функция отрицательного полуцелого аргумента
Из
(4.18)
при
,
используем
,
получаем
.
Учитываем
, (4.11)
находим
. (4.17)
Частные результаты
,
,
.
Формула Стирлинга
Факториал с большим аргументом
,
. (4.23)
Получил Джеймс Стирлинг в 1730 г. Для доказательства (4.23) используем
. (4.7)
Интеграл вычисляем по формуле Лапласа.
|
Асимптотическая формула Лапласа
В асимптотическом пределе выполняется приближенная формула
. (4.24)
Получил Пьер Симон Лаплас (1749–1827).
Доказательство:
Если , то
сильно изменяется даже при малой вариации
. Поэтому главный вклад в интеграл
вносит область t около – положения максимума
. Условия максимума
,
.
Разлагаем в ряд Тейлора около точки
и оставляем первые три слагаемые
.
Если положение максимума
находится далеко от концов области интегрирования
, то они не вносят заметного вклада в интеграл, поэтому полагаем
,
.
В результате
,
где заменен аргумент . Используем интеграл Пуассона
, (4.9а)
где и получаем
. (4.24)
Доказательство формулы Стирлинга
. (4.23)
Используем
,
где
,
,
.
Используем формулу Лапласа
(4.24)
при
,
,
,
,
получаем
. (4.24а)
Находим из условия
:
,
,
,
,
,
,
,
и из (4.24а) получаем формулу Стирлинга
. (4.23)
Учет большего числа членов разложения в ряд Тейлора дает
. (4.26)
Пример 1
Доказать
,
. (П.2.5)
Слагаемое в показателе экспоненты (П.2.5) устраняем заменой
, тогда
.
Полагаем , находим
,
тогда
.
Интеграл дает
.
Используем интеграл Пуассона
, (4.9а)
получаем (П.2.5).
Пример 2