Преобразование производных уравнений.




20. Геометрический смысл производных.
Геометрический смысл производной. Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Рассмотрим график функции y = f (x):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: xf (x 0+ x)− f (x 0)= tg , где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то x неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A.
Отсюда следует:производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.

21. Производная сложной функции.

 

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".
Пример 1
 
Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

22. Дифференцируемая функция. Дифференциал

Пусть функция задана в некоторой области , и -- внутренняя точка этой области. Пусть -- произвольная точка этой же области . Разность называется приращением аргумента ; , где . Разность значений функции называется приращением, или полным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента ; -- это функция от точки и приращения .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

(7.2)


где -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от , но могут измениться, если сменить точку . Относительно величины мы предположим, что это функция, при базе являющаяся величиной большего порядка малости, чем . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента , если точка фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

Определение 7.11 Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию называют дифференцируемой в точке , а линейную относительно функцию

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции в точке .

Если функция является дифференцируемой в любой точке открытой области , то функцию называют дифференцируемой в области .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала , то есть линейной части приращения, и остатка , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение :

23. Теорема о дифференцируемости функции

Теорема. Для того, чтобы функция f (x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела производную в этой точке. При этом , и .

Геометрический смысл дифференциала изображен на рис. 3.5. Заметьте, что производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной:

.

Это – самая обычная дробь.

Рис. 3.5 Геометрический смысл дифференциала.

 

24. Теоритический смысл дифференциала

25. Св-ва дифференциалов.
Выражение производной через дифференциалы:

где индекс "х" при y' показывает, что производная берется по аргументу х. В то же время дифференциалы dy и dx можно брать по любому аргументу.

Выражение дифференциала через производную:

Используя его, можно записать свойства дифференциалов, используя свойства производной.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала:

2. дифференциал алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3. дифференциал произведения

4. дифференциал дроби (дифференциал частного)

5. дифференциал сложной функции

где d g(x), в свою очередь, можно дифференцировать дальше.

26. Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f" (x) = (f' (x)) '.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n). Итак,

f(n) (x) = (f(n-1) (x)) ', n ϵ N, f(0) (x) = f (x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dnf (x) = d (dn -1 f (x)), d 0 f (x) = f (x), n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const и d 2 x = d 3 x =... = dnx = 0.

В этом случае справедлива формула

dnf (x) = f (n)(x)(dx) n.

Производные n -го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

 

Формула Лейбница

Если u и v - n -кратно дифференцируемые функции, то

 

Производные n -го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций

Если компоненты n -кратно дифференцируемы, то .

Аналогично для комплекснозначной функции f и матричной функции A имеем формулы:

f (n)(x) = u (n)(x) + iv (n)(x); dnf (x) = dnu (x) + idnv (x);

27. Применение производных для исследования функций.

 

План исследования функции. Для построения графика функции нужно:

 

1) найти область определения и область значений функции,

2) установить, является ли функция чётной или нечётной,

3) определить, является ли функция периодической или нет,

4) найти нули функции и её значения при x = 0,

5) найти интервалы знакопостоянства,

6) найти интервалы монотонности,

7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек

и при больших значениях модуля x.

П р и м е р. Исследуйте функцию f (x) = x 3 + 2 x 2 - x - 2 и постройте график.

 

Р е ш е н и е. Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

 

1) область определения x R (x – любое действительное число);

область значений y R, так как f (x) – многочлен нечётной

степени;

 

2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной

(поясните, пожалуйста);

 

3) f (x) – непериодическая функция (докажите это сами);

 

4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2),

так как f (0) = - 2; чтобы найти нули функции нужно

решить уравнение: x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, один из корней

которого (x = 1) очевиден. Другие корни находятся

(если они есть!) из решения квадратного уравнения:

x 2 + 3 x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

x 3 + 2 x 2 - x - 2 на двучлен (x – 1). Легко проверить,

что два других корня: x 2 = -2 и x 3 = -1. Таким образом,

нулями функции являются: -2, -1 и 1.

 

5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

функция сохраняет свой знак:

Этот результат может быть получен разложением

многочлена на множители:

 

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)

 

и оценкой знака произведения методом интервалов

(см. раздел «Неравенства» в главе «Алгебра»).

 

6) Производная f’ (x) = 3 x 2 + 4 x -1 не имеет точек, в которых

она не существует, поэтому её область определения R (все

действительные числа); нули f’ (x) – это корни уравнения:

3 x 2 + 4 x - 1 = 0.

Полученные результаты сведены в таблицу:

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-29 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: