СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Выписка образовательного стандарта (дидактические единицы дисциплины)
| Индекс | Наименование дисциплин и их основные дидактические единицы | Всего часов |
| ЕН.Ф.01 | Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Дифференциальное и интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. |
1. Краткая характеристика основной образовательной программы
Учебная дисциплина «Математика» включена в список естественно-научных дисциплин государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для специальностей 032103.65 «Физическая культура и спорт». Курс формирует у студентов представление: о месте и роли математики в современном мире, мировой культуре и истории; о математическом мышлении, индукции и дедукции в математике, принципах математических рассуждений и доказательств; о логических, топологических, алгебраических структурах на множествах; о роли математики в гуманитарных исследованиях и образовании; об основных понятиях теории вероятностей, случайных событиях, случайных величинах, законах распределения случайных величин; о вероятностном смысле статистической информации, об оценке основных статистических показателей; о статистических методах, применяемых для обработки экспериментальных данных.
Цель и задачи изучения дисциплины.
Цель курса – совершенствование базовой подготовки специалистов в области физической культуры и спорта, обеспечение их необходимыми знаниями в области математики.
В процессе преподавания математики решаются следующие задачи:
1. Обучить студентов основам математических знаний, сформировать умение применять теоретические знания для решения задач.
2. Развивать у студентов математическое и логическое мышление.
3. Изучить методы математической статистики, освоить анализ экспериментальных данных.
1. Содействовать формированию у студентов научного мировоззрения в области естественно-научных знаний.
Требования к уровню освоения программы и формы текущего и промежуточного контроля.
Формы контроля – зачет по контрольной работе и экзамен.
Задания для выполнения контрольной работы можно получить у преподавателя на установочной сессии.
Задания для контрольной работы
Номер выполняемого варианта соответствует первой букве в фамилии студента
| Фамилия | А-В | Г-Е | Ж-И | К-Л | М-Н | О-Р | С-У | Ф-Ц | Ч-Щ | Э-Я |
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Задание 1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна р1, для второго р2.
Найти вероятность того, что:
а) в цель попадут оба стрелка;
б) в цель попадет хотя бы один стрелок;
в) в цель попадет только один стрелок;
г) оба стрелка промахнутся.
| Вариант | ||||||||||
| Р1 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,9 | 0,7 | 0,5 | 0,4 | 0,3 | 0,5 | 0,8 |
| Р2 | 0,7 | 0,8 | 0,7 | 0,4 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 |
Задание 2. Вероятность того, что баскетболист попадет в кольцо при одной попытке равна Р. Баскетболист совершил n бросков. Составить закон распределения количества попаданий. Построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
| Вариант | ||||||||||
| n | ||||||||||
| Р | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 0,5 |
Задание 3. Из генеральной совокупности извлечена выборочная совокупность, получены значения измеряемой величины. По выборочным данным составить безынтервальный вариационный ряд, построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану.
| Вариант | Значения |
| 67 73 69 64 69 71 59 67 69 65 63 67 71 60 69 67 71 59 67 63 | |
| 84 82 95 83 78 98 81 82 88 87 88 89 91 95 84 82 95 95 82 82 87 82 88 84 | |
| 75 75 72 75 66 80 75 62 70 65 73 79 72 78 78 75 66 62 65 72 72 70 78 75 66 | |
| 80 75 71 76 72 82 81 78 81 73 73 73 79 75 68 76 80 73 72 81 | |
| 98 85 94 95 92 99 96 92 85 89 101 93 98 105 100 105 101 98 92 99 94 92 89 92 98 93 | |
| 67 69 64 66 77 68 67 68 69 61 60 71 71 65 61 65 71 68 68 64 64 66 68 64 68 | |
| 103 90 101 97 105 91 96 86 91 83 102 93 93 110 101 90 97 91 96 | |
| 45 42 45 48 42 46 49 47 48 51 42 51 53 40 46 51 46 46 48 47 51 | |
| 120 133 135 135 137 134 120 134 130 143 135 139 135 140 130 143 135 139 143 140 135 | |
| 102 113 96 109 73 119 102 104 108 103 100 97 102 93 92 98 101 119 104 102 103 102 |
Задание 4. У спортсменов контрольной (Х) и экспериментальной (У) групп измерены результаты теста физической подготовленности.
С помощью t-критерия Стьюдента определите, можно ли утверждать, что спортсмены экспериментальной группы имеют более высокий уровень подготовленности.
| Вариант | Значения | |
| Х | 84 82 95 83 78 98 81 82 88 87 88 89 91 95 | |
| Y | 92 95 95 88 87 94 92 83 88 98 | |
| Х | 33 35 39 42 45 37 38 42 45 37 41 39 41 42 | |
| Y | 45 39 47 49 51 55 48 46 45 55 53 49 | |
| Х | 98 105 94 95 92 99 96 92 105 101 93 98 105 100 | |
| Y | 106 105 108 106 105 108 108 103 95 | |
| Х | 8,7 8,5 9,1 9,2 9,3 8,9 8,7 9,6 9,1 9,2 9,1 | |
| Y | 8,7 8,5 8,5 8,9 8,5 8,3 9,0 9,2 8,4 | |
| Х | 75 75 72 75 66 80 75 62 70 65 73 79 72 78 78 | |
| Y | 77 78 75 75 78 74 68 68 71 65 | |
| Х | 850 780 890 780 780 880 780 765 745 780 | |
| Y | 890 780 760 875 869 912 934 943 940 860 860 | |
| Х | 120 133 135 135 137 134 120 134 130 143 135 120 | |
| Y | 127 135 151 138 145 139 135 145 148 150 | |
| Х | 154 178 198 151 157 167 184 190 168 168 160 | |
| Y | 170 175 170 185 188 168 187 194 185 | |
| Х | 12,6 11,8 11,6 12,8 13,8 12,1 12,8 12,7 12,8 13,6 12,3 | |
| Y | 11,6 13,2 12,3 12,5 12,1 11,8 12,9 11,5 12,2 13,1 12,5 | |
| Х | 85 87 90 102 96 89 85 85 88 98 90 | |
| Y | 92 95 96 95 96 97 105 105 95 93 95 98 98 95 92 |
5. Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициентов корреляции Браве-Пирсона и Спирмена.
| Вариант | Значения | |||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У | ||||||||||||
| Х | ||||||||||||
| У |
Образец выполнения контрольных заданий
Задание 1.
Два студента решают задачу. Вероятность того, что задачу решит первый студент составляет 0,8, вероятность решения для второго студента 0,4. Найти вероятность того, что: а) задачу решит хотя бы один студент; б) задачу решит только один студент; в) задачу решат оба студента; г) задачу не решит ни один студент.
Решение:
Рассмотрим четыре элементарных события: А1 - задачу решил первый студент; ` А1 - задачу не решил первый студент; А2 - задачу решил второй студент; ` А2 - задачу не решил второй студент. Вероятности событий А1 и А2 известны из условия задачи. События ` А1 и ` А2 являются противоположными событиям А1 и А2, следовательно их вероятности можно найти по теореме о вероятности полной группы событий.
Р(А1) = 0,8 Р(`А1) = 1- 0,8 = 0,2
Р(А2) = 0,4 Р(`А2) = 1 - 0,4 = 0,6
а) Событие В - "задачу решит хотя бы один студент" является суммой двух совместных событий А1 и А2, то есть В = А1+А2. По формуле суммы совместных событий получим:
Р(В) = Р(А1+А2) = Р(А1) +Р(А2) - Р(А1× А2) = 0,8 + 0,4 - 0,8× 0,4 = 0,88
б) Событие С - "задачу решит только один студент" заключается в том, что решит только первый и не решит второй, или решит только второй и не решит первый студент. Сложное событие С можно представить в следующем виде:
С = А1×`А2 +`А1× А2
События (А1`А2) и (`А1 А2) несовместны, события А1 и `А2; `А1 и А2 независимы.
Р(С) = Р(А1) × Р(`А2) + Р(`А1) × Р(А2) = 0,8 × 0,6 + 0,2 × 0,4 = 0,56
в) Событие D – «задачу решат оба студента» является произведением независимых событий А1 и А2, то есть D = А1 × А2
Р(D) = Р(А1) × Р(А2) = 0,8 × 0,4 = 0,32
в) Событие Е – «задачу не решит ни один студент» является произведением независимых событий ` А1 и ` А2, то есть Е = `А1 × `А2
Р(Е) = Р(`А1) × Р(`А2) = 0,2 × 0,6 = 0,12
Задание 2.
По цели произведено три выстрела. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Составить закон распределения вероятностей количества попаданий. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х), среднее квадратическое отклонение.
Решение:
Для определения вероятности того, что в серии из n испытаний событие А произойдет m раз воспользуемся формулой Бернулли.
Pn (m) = n!/(m!(n-m)!) pm qn-m
P3 (0) = 3! / (0! (3-0)!) 0,80 ×0,23 = (1× 2× 3 / 1×2×3) × 1× 0,008 = 0,008
P3 (1) = 3! / (1! (3-1)!) 0,81 ×0,22 = (1× 2× 3 / 1×1×2) × 0,8× 0,04 = 0,096
P3 (2) = 3! / (2! (3-2)!) 0,82 ×0,2 = (1× 2× 3 / 1×2×1) × 0,64× 0,2 = 0,384
P3 (3) = 3! / (3! (3-3)!) 0,83 = 1× 2× 3 / 1×1×2×3 × 0,512 = 0,512 (т.к. 0!=1)
Составим ряд распределения. Для этого укажем в таблице все возможные значения случайной величины и их вычисленные вероятности.
P(X=0) = 0,008; Р (Х=1) = 0,096; Р (Х=2) = 0,384; Р (Х=3) = 0,512
| Х | ||||
| Р | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Проверка: 0,008+0,096+0,384+0,512=1
Математическое ожидание:
М(Х) = 0×0,008 + 1× 0,096 + 2× 0,384 + 3× 0,512 = 2,4
Дисперсия:
D(Х) = (0 - 2,4)2 ×0,008 + (1 - 2,4)2 ×0,096+(2 - 2,4)2 ×0,384+(3 - 2,4)2 ×0,512 = 0,48
Среднее квадратическое отклонение:
Задание 3.
Из генеральной совокупности извлечена следующая выборка.
35 38 33 32 35 36 39 36 37 34 35 35 36 34 37 36 38 37 35 33
Составить безынтервальный вариационный ряд. Построить полигон. Вычислить выборочное среднее значение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, статистическую ошибку выборочной средней. Указать моду и медиану.
Решение:
Безынтервальный вариационный ряд:
| х | ||||||||
| m |
Вычисление статистических показателей (при помощи расчетной таблицы):
| х | m | m х | х- `х | (х- `х)2 | m(х- `х)2 |
| -3,6 | 12,96 | 12,96 | |||
| -2,6 | 6,76 | 13,52 | |||
| -1,6 | 2,56 | 5,12 | |||
| -0,6 | 0,36 | 1,8 | |||
| 0,4 | 0,16 | 0,64 | |||
| 1,4 | 1,96 | 5,88 | |||
| 2,4 | 5,76 | 11,52 | |||
| 3,4 | 11,56 | 11,56 | |||
| å |
Выборочное среднее `Х = å Хi / n `Х = 711/20 = 35,6
Дисперсия D = å m(Xi - `X)2 / n-1 D = 63/19 = 3,3
Выборочное среднее квадратическое отклонение 
Коэффициент вариации V=1,8/35,6×100% = 5%
Статистическая ошибка выборочной средней m`X = 1,8/4,5 = 0,4
Мо = 35 (варианта, имеющая наибольшую частоту);
Ме = 36 (середина ранжированного ряда).
Задание 4.
У спортсменов контрольной (Х) и экспериментальной (У) групп измерены результаты в прыжке в высоту. С помощью t-критерия Стьюдента определите, являются ли различия уровня спортсменов подготовленности достоверными.
| Х | ||||||||
| У |
Решение:
1. Вычислим средние значения показателей в обеих группах
`Х = (39+40+45+37+42+40+46+41)/8 = 41,2 см ≈ 41 см
`Y = (41+39+42+48+47+44+41)/ 7 = 43,1 см ≈ 43 см
2. Вычислим выборочные дисперсии sx2 и sy2
sx2 =9 см2
sy2 = 11,2 см2
Количество испытуемых в выборках: nx=8; ny=7, тогда количество степеней свободы n = 8+7-2 = 13
Найдем эмпирическое (выборочное) значение t-критерия Стьюдента
По таблице критических значений t-критерия Стьюдента определяем t0.05 = 2,160
Вывод: Так как вычисленное значение t-критерия оказалось меньше табличного (0,742 <2,160), то различия между выборочными средними не являются статистически достоверными.
Задание 5.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициента корреляции Браве-Пирсона
| Х | |||||
| У |
Решение:
Для вычисления коэффициента корреляции Браве-Пирсона составим расчетную таблицу, при помощи которой найдем выборочные средние`X,`Y, а также средние квадратические отклонения sx и sy.
| № | х | Y | х -`y | (х -`х)2 | y -`y | (y -`y)2 | (х -`х) (y -`y) |
| -1 | -3 | ||||||
| -2 | -2 | ||||||
| -4 | |||||||
| S |
`х = 65/5 = 13; `у = 375/5 = 75;
sx2 = 10/4 = 2,5; sx =1,6; sy2 = 74/4 = 18,5 sy= 4,3
Для определения достоверности взаимосвязи необходимо сравнить полученный выборочный коэффициент корреляции с критическим значением (находится в статистической таблице), которое зависит от объема выборки. При объеме выборки n = 5 критическое значение rкр = 0,878. Поскольку выборочное значение оказалось меньше критического, то нельзя утверждать, что между показателями Х и Y существует взаимосвязь.
Задание 6.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициента корреляции Спирмена.
| Х | |||||||
| У |
Решение:
Составим расчетную таблицу, в первом столбце которой указаны номера испытуемых, во втором и третьем – экспериментальные показатели, в четвертом и пятом – ранги значений Х и Y, в шестом – разность рангов, в седьмом квадрат разности рангов.
| № | х | у | RX | RY | RX - RY | (RX - RY)2 |
| 2,5 | 0,5 | 0,25 | ||||
| 2,5 | 3,5 | -1 | ||||
| 4,5 | -1,5 | 2,25 | ||||
| 4,5 | 3,5 | |||||
| S | 5,5 |
Критическое значение коэффициента корреляции при n = 7 и a = 0,05 составляет 0,754, выборочное значение коэффициента корреляции составляет 0,902. Поскольку выборочное значение коэффициента корреляции больше, чем критическое, можно утверждать, что между величинами Х и Y существует достоверная положительная взаимосвязь, вероятность ошибочности такого утверждение 0,05.