Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

1-10. Даны четыре вектора =(а₁,а₂,а₃), =(b₁,b₂,b₃), =(c₁,c₂,c₃), =(d₁,d₂,d₃) в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

1. =(1;1;0), =(0;1;-2), =(1;0;3), =(2;-1;11).

2. =(1;0;2), =(-1;0;1), =(2;5;-3), =(11;5;-3).

3. =(2;0;1), =(1;1;0), =(4;1;2), =(8;0;5).

4. =(0;1;3), =(1;2;-1), =(2;0;-1), =(3;1;8).

5. =(1;2;-1), =(3;0;2), c=(-1;1;1), =(8;1;2).

6. =(1;4;1), =(-3;2;0), =(1;-1;2), =(-9;-8;3).

7. =(0;1;-2), =(3;-1;1), =(4;1;0), =(-5;9;-13).

8. =(0;5;1), =(3;2;-1), =(-1;1;0), =(-15;5;6).

9. =(1;0;1), =(0;-2;1), =(1;3;0), =(8;9;4).

10. =(2;1;0), =(1;0;1), =(4;2;1), =(3;1;3).

11-20. Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:1) длину ребра А₁А₂; 2) угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃; 4) площадь грани А₁А₂А₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А₁А₂; 7) уравнение плоскости А₁А₂А₃; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃. Сделать чертеж.

11. А₁(1;3;0), А₂(4;-1;2), А₃(3;0;1), А₄(-4;3;5).

12. А₁(-2;-1;-1), А₂(0;3;2), А₃(3;1;-4), А₄(-4;7;3).

13. А₁(-3;-5;6), А₂(2;1;-4), А₃(0;-3;-1), А₄(-5;2;-8).

14. А₁(2;-4;-3), А₂(5;-6;0), А₃(-1;3;-3), А₄(-10;-8;7).

15. А₁(1;-1;2), А₂(2;1;2), А₃(1;1;4), А₄(6;-3;8).

16. А₁(9;5;5), А₂(-3;7;1), А₃(5;7;8), А₄(6;9;2).

17. А₁(0;7;1), А₂(4;1;5), А₃(4;6;3), А₄(3;9;8).

18. А₁(5;5;4), А₂(3;8;4), А₃(3;5;10), А₄(5;8;2).

19. А₁(6;1;1), А₂(4;6;6), А₃(4;2;0), А₄(1;2;6).

20. А₁(7;5;3), А₂(9;4;4), А₃(4;5;7), А₄(7;9;6).

21. Даны две вершины треугольника А (2;2), В (3;0) и точка пересечения его медиан D (3;1). Найти координаты вершины С.

22. Дано уравнение одной из сторон квадрата x + 3 y – 7 = 0и точка пересечения его диагоналей Р (0;-1), найти уравнения трех остальных сторон квадрата.

23. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если известны координаты его вершин А (-3;3), В (5;-1) и точка пересечения его высот М (4;3).

24. Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника с вершинами А (0;5), В (1;-2), С (-6;5).

25. Даны уравнения двух сторон треугольника 4 х – 5 у + 9 = 0 и х + 4 у – 3 = 0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке Р (3;1).

26. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В (-4;-5) и уравнения двух его высот 5 х + 3 у – 4 = 0 и 3 х – 8 у – 13 = 0.

27. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину С (4;-1), а также уравнения высоты 2 х – 3 у + 12 = 0 и медианы 2 х + 3 у = 0.

28. Через точку М (4;3) проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

29. Даны две вершины треугольника А (-10;-13), В (-2;3) и С (2;1). Вычислить длину перпендикуляра, опущенного из вершины В на медиану, проведенную из вершины С.

30. Даны уравнения двух сторон квадрата 4 х – 3 у + 3 = 0, 4 х – 3 у - 17 = 0 и одна из его вершин А (2;-3). Составить уравнения двух других сторон этого квадрата.

31. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (4;4) и от оси абсцисс. Сделать чертеж.

32. Составить уравнение линии, каждая точка которой удалена от точки А (2;0) вдвое дальше, чем от оси ординат. Сделать чертеж.

33. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А (-2;0), чем от точки В (1;0). Сделать чертеж.

34. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от начала координат и от прямой 3 х + 16 = 0 относятся как 3: 5. Сделать чертеж.

35. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точек А (6;0) и В (2;0) относятся как 2: 1. Сделать чертеж.

36. Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки А (3;0) вдвое дальше, чем от прямой х = 1. Сделать чертеж.

37. Составить уравнение линии, расстояния каждой точки которой от точки А (-2;0) и от точки В (2;0) относятся как 3: 4.Сделать чертеж.

38. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А (1;3) и от прямой у + 1 = 0. Сделать чертеж.

39. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А (1;0) втрое больше расстояния от прямой у = -2. Сделать чертеж.

40. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А (4;2) равно расстоянию от оси ординат. Сделать чертеж.

41-50. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от = 0 до и придавая значения через промежуток ;

2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

41. 42. 43.

44.

45. 46. 47. 48.

49. 50.