Класс
Геометрия
17.11
Тема: "Взаимное расположение прямых в пространстве.
Угол между двумя прямыми"
Цели:
· дать определение скрещивающихся прямых, рассмотреть возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве, сформулировать признак скрещивающихся прямых сформулировать и доказать теорему о параллельности прямой и плоскости и сформулировать утверждения, которые часто применяют при решении задач.
· Развивать пространственное мышление, внимание;
· Воспитывать аккуратность, прививать интерес к предмету.
Тип урока: комбинированный.
Ход урока
I.Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
1) Дайте определение параллельных прямых в пространстве.
2) Дайте определение параллельности прямой и плоскости
3) Сформулируйте теорему о параллельности прямой и плоскости, параллельности прямых
4) Сформулируйте аксиомы стереометрии и некоторые следствия из аксиом.
III. Изучение нового материала
Итак, две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Давайте рассмотрим все тот же наш любимый куб ABCDA1B1C1D1.
Понятно, что прямые, на которых лежат его ребра AB и DC параллельны, ведь они лежат в одной плоскости, например, ABC и не пересекаются.
Проведем диагонали AB1A1B грани AA1B1B. Видно, что прямые на которых лежат указанные диагонали расположены в одной плоскости AA1B1 и пересекаются.
Теперь давайте проведем диагональ куба B1D. И попытаемся разобраться о взаимном расположении прямых, на которых лежат диагональ B1D и ребро AA1. Обратите внимание, что нет такой плоскости, которая проходила бы через обе эти прямые. Значит, параллельными они быть не могут, по определению параллельности прямых в пространстве. Пересекаться также не могут, так как не лежат в одной плоскости.
Для такого случая расположения прямых также есть название. Такие прямые называют скрещивающимися.
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.
На рисунке изображены скрещивающиеся прямые а и b. Их обозначают следующим образом 
.
Итак, возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
1. прямые пересекаются, т.е. имеют одну только общую точку.
2. прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются.
3. прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости, не параллельны и не пересекаются.
Запишите в тетрадь
Наглядным примером о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой.
Линии электропередач и река. Они также дают нам представление о скрещивающихся прямых.
Рассмотрим теорему, которая позволяет выяснить, являются ли две прямые скрещивающимися. Эту теорему называют признаком скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
Рассмотрим пример. Пусть ABCA1B1C1 – прямая треугольная призма.
Тогда прямые AB1 и BC – скрещивающиеся, так как прямая AB1пересекает плоскость ABC в точке А, не лежащей на прямой
BC.
Докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Наглядным примером этой теоремы служат две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой. Нижняя дорога лежит в плоскости земли, параллельной дороге на эстакаде. Ясно, что и через дорогу на эстакаде проходит плоскость, параллельная плоскости земли, а значит, параллельная нижней дороге.
IV. Закрепление изученного материала
Задача. Точки 
и 
лежат на ребре 
, а точки 
и 
на ребре 
тетраэдра 
. Докажите, что прямые 
и 
– скрещивающиеся.
Доказательство. Прямая ТК пересекает плоскость ABC в точке C, не лежащей на прямой ОЕ, следовательно, прямые ТК и ОЕ скрещивающиеся. Значит, точки Т, К, Е и О не лежат в одной плоскости. Обратите внимание, прямая ТО лежит в плоскости ТОC. КЕ пересекает плоскость ТОC в точке К. Точка К не принадлежит прямой ТО. Отсюда следует, что прямые ТО и КЕ не лежат в одной плоскости, т.е. по признаку скрещивающихся прямых они являются скрещивающимися. Что и требовалось доказать.
Задача. Точки 
и – центры граней куба. Докажите, что прямые 
и 
скрещиваются
Доказательство.
Что и требовалось доказать.
VII.Домашнее задание:
1. Посмотрите видео
https://www.youtube.com/watch?v=nSKcRyI0KvA&t=22s
https://www.youtube.com/watch?v=pYxjSBiuJ3o
2. Запишите конспект и примеры
3. Выучите теоремы и определения п.7
4. Решите задачи №34(а,в,д), №39, №44