Действия над линейными операторами.

Основные определения.

Определение 1. Пусть X и Y – произвольные множества. Будем говорить, что A – отображение, действующее из X в Y и записывать это так A: X ®Y, если имеется правило, с помощью которого каждому элементу X ставится в соответствие единственный элемент Y, обозначаемый A или A .

Элемент A называют образом элемента X при отображении A. Элемент называют прообразом элемента Y при отображении A.

Если для каждого элемента Y существует единственный прообраз X, то отображение A называют взаимнооднозначным.

Пример 1. Каждой точке отрезка поставим в соответствие точку , являющуюся проекцией точки на прямую , параллельную отрезку . Это отображение не является взаимнооднозначным, т.к. не всякая точка прямой есть образ некоторой точки отрезка .

Пример 2. Пусть даны два параллельных отрезка и . Проведем прямые и через точки и соответственно.

Каждой точке отрезка поставим в соответствие точку A отрезка , являющуюся точкой пересечения отрезка и отрезка, соединяющего точки и . Очевидно, это отображение является взаимнооднозначным.

Определение 2. Пусть X и Y – линейные пространства над полем K. Отображение A: X ®Y пространства X в пространство Y называется линейным, если для любых векторов X и для любых чисел K справедливо равенство

A () = A () + A ().

Если то такое линейное отображение будем называть линейным оператором, т.е.

отображение A: X ®X будем называть линейным оператором, если для любых векторов X и для любых чисел K справедливо равенствоA () = A () + A ().

Множество всех линейных отображений, действующих из X в Y, будем обозначать так: . Множество всех линейных операторов, действующих в пространстве X, будем обозначать через , т.е. . Иногда вместо A () будем писать A .

Взаимнооднозначное линейное отображение будем называть изоморфизмом линейных пространств. Если существует изоморфизм линейных пространств A: X ®Y, то будем говорить, что пространство X изоморфно пространству Y и записывать это так: X Y.

Задача 1. Докажите, что если A L (X), то A .

Пример 1. Отображение , сопоставляющее каждому вектору
пространства свободных векторов в пространстве его столбец координат в базисе , т.е. такое, что,A является линейным.

Действительно,A () = A () + A () для любых X и для любых чисел R. Нетрудно доказать, что это изоморфизм линейных пространств.

Пример 2. Пусть X (C), (C), – фиксированная матрица. Отображение
A: X ®X, заданное формулой A для любой матрицы ÎX, является линейным оператором, т.к.

A A A для любых чисел C и для любых матриц X (C).

Докажите, что A - изоморфизм линейных пространств тогда и только тогда, когда матрица неособенная.

Пример 3. Пусть X = R R – пространство многочленов с вещественными коэффициентами от буквы степени не выше второй. Отображение A: X ®X, сопоставляющее каждому многочлену ÎX его производную т.е. является линейным оператором.

Задача 2. Пусть A: X ®Y - изоморфизм линейных пространств и - базис пространства X.. Докажите, что тогда

A A A базис пространства Y. Таким образом, если X Y, то X Y.

Задача 3. Докажите, что отображение A: X ® K , заданное формулойA ()= , где - базис линейного пространства X над полем K, естьизоморфизм линейных пространств.

Задача 4. Докажите, что если X Y, то Y X.

Задача 5. Докажите, что если X Y, Y Z, то X Z,

Задача 6. Докажите, что если X Y, то X Y.

Задача 7. Докажите, что K K .

Действия над линейными операторами.

Пусть X– линейное пространство над полем K.

Определение 1. Пусть A, B L (X). Суммой линейных операторов A и B, действующих в пространстве X называют отображение, действующее из X в X, обозначаемое и такое, что () для любого вектора ÎX.

Определение 2. Произведением числа l Î K на линейный оператор A L (X) называют отображение, действующее из X в X, обозначаемое lA, такое, что (lA) = lA для любого вектора ÎX.

Определение 3. Произведением линейного оператора A L (X) на линейный оператор L (X) называют отображение, действующее из X в X и обозначаемое через или такое, что () ( ( для любого вектора ÎX.

Схематически это можно изобразить так:

Замечание 1. Произведение отображения на называют также композицией или суперпозицией этих отображений.

Замечание 2. Знак “ ” иногда для краткости будем опускать.

Лемма 1. Пусть X – линейное пространство над полем K. Если , Î K, то . Другими словами, сумма двух линейных операторов, произведение линейного оператора на число, произведение двух линейных операторов, действующих в X, также являются линейными операторами.

Доказательство заключается в проверке условия определения 2 §1для указанных операторов. Мы проведем эту проверку лишь для суммы и произведения операторов. Остальное рекомендуется проверить самостоятельно. Пусть X и K. Тогда получаем:

() ( ) )=

= ( )+ ( ) )= () + ()

() ( ( ( (

() () .

Здесь мы воспользовались линейностью операторов A, B, определениями 1 и 3, а также аксиомами линейного пространства.

Следствие. Доказанное утверждение означает, что на множестве линейных операторов, действующих в X, определены операции сложения, умножения на число и умножения операторов.

Определение 4. Нулевым оператором называют такой оператор, действующих в пространстве X и обозначаемый через O, что O для любого вектора ÎX. Очевидно .

Определение 5. Тождественным или единичным оператором будем называть оператор, обозначаемый черезE, и такой, что E для любого вектора ÎX. Очевидно, .

Определение 6. Два отображения A: X ®Y и B: X ®Y равны, если A =B для любого вектора ÎX. Аналогично определяется равенство двух операторов.

Теорема 1. Множество линейных операторов, действующих в линейном пространстве X над полем K, является линейным пространством над K относительно операций сложения и умножения на числа поля K, т.е. для любых операторов и любых l, m Î K справедливы равенства:

1) A +B = B +A;

2) (A +B) +C =A + (B +C);

3) A +O =A;

4) A + (–1)A =O;

5) ;

6) l(A +B) = lA + lB;

7) (l + m)A =lA + mA;

8) (lm)A = l(mA);

Доказательство этих равенств основано на определениях 1, 2, 4, 6 и определении линейного пространства. Докажем для примера равенство 1: () ( + ) для любого вектора ÎX. По определению 6 это и означает, что . Здесь использованы определение 1 и коммутативность сложения в линейном пространстве.

Совершенно аналогично доказывается равенство 2:

(()+C) () C ( +C ( C

= + ( +C) (A + (B +C)) для любого вектора ÎX. По определению 6 это и означает, что (A +B) +C =A + (B +C). Здесь использованы определение 1, коммутативность и ассоциативность сложения в линейном пространстве. Остальные равенства предлагается доказать самостоятельно.

Теорема 2. Для любых операторов и любого l Î K справедливы равенства:

1) (ассоциативность умножения);

2) (левая дистрибутивность);

3) (правая дистрибутивность);

4) (существование единицы);

5) .

6) O =O =O.

Докажем лишь равенство 1, т.к. все остальные проверяются аналогично, что рекомендуется сделать самостоятельно.

для любого вектора ÎX, что и означает справедливость равенства 1.

Замечание 1. Из теоремы 2 следует, что для любого оператора справедливо равенство . Таким образом, способ расстановки скобок в произведении не имеет значения. Это произведение называют третьей степенью линейного оператора и обозначают так: .

Точно так же независимо от способа расстановки скобок в произведении получаем один и тот же линейный оператор, который называют k-ой степенью оператора и обозначают так: (здесь N). По определению считают, что E.

Таким образом, по определению E; (здесь N).

Задача. Докажите, что для любых N справедливы равенства

= = ; ( =( = .