Пусть 
– базис линейного пространства X над K, 
и пусть известно действие оператора A на каждом из базисных векторов, т.е. известны векторы 
, 
, ¼, 
. Тогда известно и действие оператора A на любом векторе 
.
В самом деле, 
= 
Таким образом, чтобы задать линейный оператор A, достаточно задать векторы , , ¼, .
Определение 1. Пусть – базис X, . Разложим векторы , , ¼, по базису :
,
..............
Матрицу 
, столбцами которой являются координатные столбцы векторов , , ¼, в базисе , будем называть матрицей линейного оператора A в базисе и обозначать так: [A ] 
.
Кратко определение матрицы линейного оператора в базисе можно записать так:
[A ] 
([ A ] [A ] 
[A ] )
Замечание 1. Матрица линейного оператора в данном базисе определена однозначно, т.к. координаты вектора в данном базисе определены единственным образом.
Замечание 2. Очевидно, матрица единичного оператора в любом базисе – единичная, т.е.: [E ] 
.
Замечание 3. Очевидно, матрица нулевого оператора в любом базисе – нулевая, т.е.: [O ] 
.
Пример 1. Найдем матрицу оператора дифференцирования из примера 3 в базисе 
.
Следовательно, [A ] = 
.
Пример 2. Найдем матрицу линейного оператора A, действующего в пространстве квадратных вещественных матриц второго порядка, т.е. в пространстве X 
(R). Пусть 
и A 
для любой матрицы 
X. Оператор A - линейный, т.к.
A 
A 
A 
для любых чисел 
R и для любых матриц 
X 
(R).
Обозначим через 
базис пространства X из матриц
, 
, 
, 
.
Найдём матрицы , , 
, 
и разложим их по базису :
= 
= 
= 
= 
Следовательно, матрица оператора A в базисе найдена: [A ] 
Теорема 1. Пусть – базис линейного пространства X над полем K. Отображение
(K), заданное формулой 
() =[A ] для любого , является взаимно однозначным. Другими словами, каждая квадратная матрица порядка 
с элементами из поля K есть матрица единственного линейного оператора, действующего в пространстве X в базисе .
Доказательство. Как уже было отмечено выше, каждому линейному оператору по указанному правилу ставится в соответствие единственная квадратная матрица порядка .
Покажем, что для любой матрицы 
(K) существует, и притом единственный, линейный оператор такой, что [A ] = 
.
1. Докажем сначала существование такого линейного оператора. Зададим оператор 
формулой 
для любого вектора . Или, что то же самое 
. Покажем, что . Для любых векторов 
X и любых чисел K получаем:
A 
= 
A 
+ A 
. Следовательно, по определению оператор - линейный. Здесь мы использовали свойства координат векторов и свойства действий над матрицами.
2. Покажем теперь, что [A ] = . Пусть 
. По определению 1
[A ] =([ A ] [A ] [A ] ).
Следовательно, нужно доказать равенство [A ] = 
для всех 
. Из определения оператора имеем:
, т.к. в координатном столбце вектора в базисе число, стоящее на 
-ом месте, равно единице, а остальные элементы равны нулю. Из единственности координат вектора в данном базисе получаем: [A ] = . Таким образом, [A ] = .
3. Докажем, наконец, единственность.
Пусть найдется такой оператор 
, что 
. Тогда, как следует из определения 1,
([ 
] [ ] [ ] )= 
.
Следовательно, [ ] = =[A ] , откуда и получаем равенства =A для всех .
Тогда для любого вектора
имеем: = = 
= = = = . Следовательно, A =D
и теорема полностью доказана.
Следствие. Из доказательства теоремы 1 следует равенство = ([A ] 
).