ПЛАН УРОКА
1. Объяснение нового материала
Наша жизнь во многом состоит из случайностей. Существует такая наука «Теория вероятностей». Пользуясь ее языком, можно описать многие явления и ситуации.
Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.
Такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали не только на доблесть и искусство воинов, но и на случай.
Математику многие любят за вечные истины дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон и т. д. В любой задачах, которые вы решали, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.
Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе в течение ближайшего часа захотят позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными.
Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орел» выпадет приблизительно в половине случаев, чего нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. «Приблизительно» не означает половину. Это, как правило, может быть так, а может и не быть. Закон вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет.
Такие закономерности изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей. С ее помощью можно с большей степенью уверенности (но все равно не наверняка) предсказать и дату выпадения первого снега, и количество телефонных звонков.
Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает нам замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, нарды, рулетка или даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее частом виде. И первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.
Современная теория вероятностей ушла от азартных игр, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать оптимальные решения не только в играх и лотереях.
Решая вероятностные задачи, будьте очень внимательны, старайтесь обосновывать каждый свой шаг, ибо никакая другая область математики не содержит такое количество парадоксов. Как теория вероятностей. И, пожалуй, главное объяснение этому - ее связь с реальным миром, в котором мы живем.
Во многих играх используют кубик, у которого на каждой грани отмечено различное количество точек от 1 до 6. Играющий бросает кубик, смотрит, сколько точек выпало (на той грани, которая располагается сверху), и делает соответствующее число ходов:1,2,3,4,5, или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – событием. Людям обычно очень интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик?
Первое предсказание: выпадет одна из цифр 1,2,3,4,5, или 6.Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит.
Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.
Второе предсказание: выпадет цифра 7. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно не наступит, это просто невозможно.
Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.
Третье предсказание: выпадет цифра 1. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку предсказанное событие может наступить, а может и не наступить.
События, которые в одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти, называются случайными.
Пример. В коробке лежат 5 конфет в синей обертке и одна в белой. Не глядя в коробку, наугад вынимают одну конфету. Можно ли сказать заранее, какого она будет цвета?
Задание: охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных ниже заданиях. Как достоверные, невозможные или случайные.
1. Подбрасываем монету. Появился герб. (случайное)
2. Охотник стрелял в волка и попал. (случайное)
3. Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. (случайное)
4. Проведем мысленно следующий эксперимент: стакан с водой перевернем вверх дном. Если этот эксперимент проводить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. (достоверное)
5. Произведено три выстрела по мишени». Произошло пять попаданий» (невозможное)
6. Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе. (невозможное)
Пример Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:
а) задумано четное число; (случайное)
б) задумано нечетное число; (случайное)
в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; (невозможное)
г) задумано число, являющееся четным или нечетным. (достоверное)
События, которые при данных условиях имеют равные шансы, называются равновероятными.
Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными или равновероятными.
На устном экзамене ученик берет один из разложенных перед ним билетов. Шансы взять любой из экзаменационных билетов равны. Равновероятным является выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании игрального кубика, а также «орла» или «решки» при бросании монеты.
Но не все события являются равновозможными. Может не зазвонить будильник, перегореть лампочка, сломаться автобус, но в обычных условиях такие события маловероятны. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится, автобус поедет.
У одних событий шансов произойти больше, значит, они более вероятны — ближе к достоверным. А у других шансов меньше, они менее вероятны — ближе к невозможным.
У невозможных событий нет никаких шансов произойти, а достоверные события имеют все шансы произойти, при определенных условиях они произойдут обязательно.
Пример Петя и Коля сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:
а) их дни рождения не совпадают; (случайное)
б) их дни рождения совпадают; (случайное)
в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля; (невозможное)
г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня). (случайное)
Проверь себя.
1)Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные:
· Футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью
· Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее
· В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце
· Завтра будет контрольная по математике.
· 30 февраля будет дождь.
· Вас изберут президентом США.
· Вас изберут президентом России.
2) Вы купили в магазине телевизор, на который фирма – производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:
· Телевизор не сломается в течение года.
· Телевизор не сломается в течение двух лет.
· В течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора.
· Телевизор сломается на третий год.
3)Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:
· Все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках.
· Все пассажиры выйдут на одной остановке.
· На каждой остановке хоть кто- то выйдет.
· Найдется остановка, на которой никто не выйдет.
· На всех остановках выйдет четное число пассажиров.
На всех остановках выйдет нечетное число пассажиров.
Ответы:
1)Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные:
· Футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью (случайное)
· Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее (достоверное)
· В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце (невозможное)
· Завтра будет контрольная по математике. (случайное)
· 30 февраля будет дождь. (невозможное)
· Вас изберут президентом США. (невозможное)
· Вас изберут президентом России. (случайное)
2) Вы купили в магазине телевизор, на который фирма – производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:
· Телевизор не сломается в течение года. (случайное)
· Телевизор не сломается в течение двух лет. (случайное)
· В течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора. (достоверное)
· Телевизор сломается на третий год. (случайное)
3)Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:
· Все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках. (невозможное)
· Все пассажиры выйдут на одной остановке. (случайное)
· На каждой остановке хоть кто- то выйдет. (случайное)
· Найдется остановка, на которой никто не выйдет. (случайное)
· На всех остановках выйдет четное число пассажиров. (невозможное)
На всех остановках выйдет нечетное число пассажиров. (невозможное