Понятие несобственного интеграла.
Понятие несобственного интеграла является обобщением понятия определённого интеграла на случай, когда либо промежуток интегрирования бесконечен, либо подынтегральная функция в некоторых точках неограниченна или неопределенна.
Различают два типа несобственных интегралов:
1) несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
 |
2) несобственные интегралы от неограниченных функций
 |
Опр. Если функция f(x) определена на промежутке [a; ¥] и при любом значении b>a существует 
, то можно рассмотреть 
, который и называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции f(x) на промежутке [a; ¥] и обозначают .
Если данный предел конечен, то говорят что несобственный интеграл сходится, а функция f(x) интегрируема на [a; ¥], иначе несобственный интеграл расходится, а функция неинтегрируемая на [a; ¥].
Пример: 
сходится;
расходится
Аналогичным образом вводятся понятия несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом и бесконечными пределами интегрирования.
Правила вычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования.
Так как несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования по определению вычисляются предельным переходом из соответствующих определённых интегралов, то для них справедливы все свойства определённых интегралов, в частности формула Ньютона–Лейбница. Тогда, если F(x) первообразная f(x), то
Опр. Пусть функция f(x) определена на [a;b] за исключением некоторой точки в окрестности которой она неограниченна. Для определённости положим, что эта точка b. Тогда если существует 
то этот предел называется несобственным интегралом от неограниченной на нём функции f(x)
и обозначается 
В случае, если точка с – является точкой разрыва функции f(x) на [a; b], а несобственные интегралы на отрезах [a; с] и [с; b] существуют, считают, что
Правила вычисления несобственных интегралов от неограниченных функций.
Если F(x) первообразная функции f(x) и
1) 
, то 
2) 
, то 
3) с– точка разрыва 
Геометрический смысл несобственного интеграла.
Если существует несобственный интеграл от f(x), взятый вдоль основания криволинейной трапеции, то он задаёт площадь этой бесконечной трапеции, в противном случае понятие площади не имеет смысла.
Некоторые способы приближённого вычисления несобственных интегралов.
Существуют различные методы численного вычисления несобственных интегралов с заданной точностью.
I. Интегралы первого типа можно вычислять с помощью замены
.
Тогда несобственный интеграл перейдёт в интеграл с конечными пределами интегрирования 
. Интегралы такого типа можно вычислить по методу квадратур Гаусса.
II. При приближённом вычислении несобственных интегралов 
особая точка) можно использовать определение этих интегралов и применить метод “обрезания бесконечного предела интегрирования конечным значением”.
Интегралы соответственно представляются в виде:
, 
причём А выбирает настолько большим, а d1, d2 – столь малым, чтобы в пределах заданной точности интегралы 
, 
не влияли бы на результаты, т.е. 
и 
не превосходили бы соответствующей погрешности вычислений. Остальные интегралы вычисляют уже изученными методами с соответствующими погрешностями.
Пример. Вычислить приближённо интеграл I= 
с точностью до 10-4.
Решение. Из неравенства 
следует, что
. Не трудно заметить, что при подстановке вместо А значения 3 выполняется неравенство 
. Таким образом, достаточно взять А=3.
Значение же интеграла 
можно найти по формуле Симпсона с заданной точностью I=0.8862.
III. В некоторых случаях при вычислении несобственных интегралов можно использовать “мультипликативное выделение особенности”. Для этого подынтегральную функцию f(x) представляют в виде произведения двух функций 
, одна из которых j(x) ограничена, а другая p(x) рассматривается как весовая функция – положительна и интегрируема на рассматриваемом промежутке. В данном случае полученные интегралы вычисляются с помощью квадратурных формул с весом, рассмотренных в прошлом семестре.
IV. Часто при вычислении несобственных интегралов второго типа пользуются методом выделения особенностей, предложенным Л.В. Канторовичем. Этот приём состоит в том, что если подынтегральная функция на рассматриваемом интервале ограничена 
, то несобственный интеграл существует и можно приступать к его вычислению. Сделать это можно с помощью аддитивного выделения особенностей. Для этого из подынтегральной функции f(x) в несобственном интеграле
выделяют в качестве слагаемого некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и f(x), легко интегрируемую и такую, чтобы разность 
была бы достаточно гладкой функцией.
рассмотрим достаточно широкий класс функций, имеющих вид
где 
для 
разлагается в степенной ряд
Тогда полагаем
и
Функция g(x) интегрируется непосредственно, а j(x) имеет на отрезке [a; b] n непрерывных производных, а значит может быть вычислена обычными численными методами с оценкой погрешности.
Замечания: 1) Данный метод выделения особенностей может оказаться полезным при вычислении собственных интегралов, если подынтегральная функция не является достаточно гладкой.
Пример. Вычислить приближённо интеграл I= 
Решение. В этом интеграле особой является точка x=0.
Разложим функцию (1-x)-1/2 по степеням x с помощью биномиального ряда
В разложении остановимся на слагаемом, содержащем x4, и положим
Тогда I= 
Первый интеграл можно вычислить аналитически I1=1.5691585…, а второй можно вычислить по формуле Симпсона I1=0.00116385. В результате получаем I=1.570797.
Истинное же значение интеграла I= 
.