Глава 3. Определители n-го порядка.
В настоящей главе понятие определитель обобщается максимально: будем считать порядок определителя произвольным. Изучая определители 2-го и 3-го порядков, всё время имелась в виду целевая задача: решение системы линейных уравнений. Потом были обнаружены дополнительные возможности определителей в приложениях к задачам геометрии и физики. Так как для числа измерений больше трёх мы не можем представить себе реальных геометрических образов, то будем считать целью развития понятия определитель – решение систем линейных уравнений с
неизвестными: x 1, x 2, …,
.
При переходе от определителя 2-го порядка к определителю 3-го порядка использовалось соответствие:
квадратная матрица: A = → определитель:
=| A |= d,
причём каждый член определителя должен формироваться по правилу: это произведение элементов
определителя, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца:
·
·…·
– общий член определителя.
Число членов определителя: определяется перестановкой = n! Остаётся определить знак каждого члена определителя.
Очевидно, поиск геометрических схем определения знака члена определителя – бесперспективен! Нужно искать совсем другие схемы решения этой задачи. А значит, задачи вычисления определителя - го порядка!
Перестановки и подстановки.
Рассмотрим множество М целых чисел: 1,2,…, n. Элементы множества М можно расположить разными способами.
Определение: (3.1) | всякое расположение чисел 1,2,…, n в некотором порядке называется перестановкой из n чисел. Общий вид записи перестановки из n элементов:
![]() ![]() ![]() ![]() |
В качестве можно выбрать любое из чисел 1, 2, …, n. Это дает n различных возможностей. Если
уже выбрано, то в качестве
можно выбрать лишь одно из оставшихся (n -1) чисел, т.е. различных способов выбрать числа (символы)
и
равно произведению n∙ (n -1) и т.д. Число перестановок из n символов равно произведению:
|
Если в некоторой перестановке поменяем местами какие-либо два символа, не обязательно стоящие рядом, а все остальные оставим на месте, то получим новую перестановку. Такое преобразование перестановки называется транспозицией.
Теорема: (3.1) | Все перестановки из n символов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая перестановка получается из предыдущей одной транспозицией, причем начинать можно с любой перестановки. |
► Доказательство проведем методом математической индукции. При n =2 утверждение справедливо: 1) так как: 2! = 1·2 = 2, то всего перестановок 2;
2) пусть 1-я перестановка: 1, 2 → тогда 2-я: 2, 1;
3) пусть 1-я перестановка: 2, 1 → тогда 2-я: 1, 2.
Пусть для (n -1) символов теорема выполняется. Рассмотрим все перестановки из n элементов, у которых на первом месте стоит символ (не перемещается!). Таких перестановок (n -1)! и их можно (в соответствии с предположением) упорядочить так, как требует теорема. Пусть последняя из таких перестановок имеет вид:
,
,…,
, (2)
В перестановке (2), содержащей n символов, совершим транспозицию символа с любым другим (например, с символом
) и вновь упорядочим все перестановки из (n -1) символов при фиксированном на первом месте
и т.д. Так поступим n раз. Это обеспечит перебор всех n! перестановок для n символов. ◄
|
Следствие: от любой перестановки из n символов можно перейти к любой другой перестановке из тех же символов при помощи нескольких транспозицией.
Если в перестановке символ стоит раньше, чем символ
, но
>
, то говорят, что символы
и
составляют инверсию (нарушение порядка), иначе указанные символы составляют порядок. Перестановка называется чётной, если ее символы составляют чётное число инверсий, и нечётной – в противном случае.
Теорема: (3.2) | Всякая транспозиция меняет чётность перестановки. |
► Пусть транспонируются символы: ☺ и ☻. Отметим символом ♦ те символы перестановки, которые транспозицией не затрагиваются. Рассмотрим два возможных случая:
1) перестановки имеет вид: ♦♦♦♦ ☺☻ ♦♦♦♦♦ и символы ☺ и ☻ не составляют инверсию; к выделенным символам применим одну транспозицию: ♦♦♦♦ ☻☺ ♦♦♦♦♦ → теперь символы ☻ и ☺ составляют инверсию.
2) пусть перестановка записана в виде:
♦ | ♦ | ♦ | ☺ | a1 | a2 | ... | ak | ☻ | ♦ | ♦ | ♦ | ♦ | Транспозиций | ||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ... | ![]() | ![]() | k+1 | |||||||||||||||||
♦ | ♦ | ♦ | ☻ | ☺ | a1 | ... | ak-1 | ak | ♦ | ♦ | ♦ | ♦ | |||||||||||
![]() | ![]() | ... | ![]() | ![]() | k | ||||||||||||||||||
♦ | ♦ | ♦ | ☻ | a1 | a2 | ... | ak | ☺ | ♦ | ♦ | ♦ | ♦ | |||||||||||
В исходном положении символы ☺ и ☻ разделяют некоторые k символов. Если бы мы решили сразу поменять местами выделенные элементы, то не смогли бы оценить изменение их взаимоотношений с разделяющими их элементами! Поэтому берём элемент ☻, и, обмениваясь местами только с соседним левым элементом, движемся влево... На последнем шаге меняются местами выделенные элементы. Теперь имеем рядом элементы: ☻ и ☺. На такое преобразование потребовалось (k+1) транспозиций.
|
Для того, чтобы элемент ☺ переместился на исходное место элемента ☻, ему потребуется k транспозиций. Итак, мы обеспечили выделенным элементам транспозицию, применив 2k+1 легко учитываемых транспозиций. Так как число 2k+1 есть нечётное число, то это значит: если символы ☺ и ☻ не составляли инверсию, теперь составляют. И наоборот! ◄
Теорема: (3.3) | Сумма порядков и инверсий постоянна и равна: N = ![]() |
► Пусть исходная запись перестановки ☺: 1, 2, …, n; нарушений порядка нет. Запишем теперь перестановку в виде ☻: n, (n-1), …, 2, 1; теперь нарушений порядка наибольшее число. От перестановки ☺ к перестановке ☻ можно перейти, используя минимальное число транспозицией: N = . Этот результат легко прочитывается из схемы, использованной при доказательстве теоремы 3.2. ◄
Анализируя рассмотренные свойства перестановок, замечаем: для формирования индексов одного из множителей общего члена определителя: ·
·…·
требуется совместное использование двух перестановок:
,
,...,
и
,
,...,
. При этом:
указывает номер строки, а
номер столбца, выбираемых для выделенного множителя члена определителя. Заметим также, что для определителя удобно последовательность
,
,...,
заменить последовательностью: 1,2,..., n, так как в этом случае при выборе строк совсем не нужно тратить время на размышления!
Отражая выявленную потребность определителей, стали изучать специальные алгебраические конструкции – подстановки, причём исходное их определение использует две совершенно равноправные перестановки.
Определение: (3.2) | Запишем одну перестановку под другой: ![]() |
Под подстановкой понимают отображение (соответствие) множества символов, состоящего из первых n чисел: 1, 2, …, n, на себя: .
Рассмотрим пример подстановки, используя две произвольные перестановки, содержащие одни и те же элементы. .
☺☺
Пример 3 – 01: Пусть записана подстановка: . Что это значит?
Ответ: задано преобразование элементов (чисел) множества 1,2, …, n само на себя, а именно: 1 → 6; 2 → 5; 3 → 1; 4 → 4; 5 → 2; 6 → 3; 7 → 7; 8 → 8; 9 → 9.
☻
Из примера видим, что подстановка как отображение множества чисел 1, 2, …, n не меняется при транспозиции столбцов. Для приложений, ради которых мы вводим подстановки, не важен порядок столбцов подстановки. Всегда будем предполагать эквивалентность подстановок:
→
, (3)
где – число, в которое переходит число
.
☺☺
Пример 3 – 02: Почему записи: и
– эквивалентны?
Ответ: обе подстановки определяют одно и то же преобразование элементов (чисел) множества 1,2, …, n само на себя, а именно: 1 → 6; 2 → 5; 3 → 1; 4 → 4; 5 → 2; 6 → 3; 7 → 7; 8 → 8; 9 → 9.
☻
Из определения эквивалентности подстановок следует, что подстановки порядка различаются только нижней перестановкой элементов. Как было показано при рассмотрении элементов комбинаторики, число различных перестановок
=
!
Для подстановок вводят понятия: чётная подстановка и нечётная:
▫ для записи подстановки :
- подстановка чётная, если четности верхней и нижней перестановок совпадают;
- подстановка нечётная, если четности её верхней и нижней перестановок противоположны.
▫ для записи подстановки :
- подстановка чётная, если ее определяет четная перестановка нижней строки;
- подстановка нечётная, если ее определяет нечетная перестановка нижней строки.
☺☺
Пример 3 – 03: Определим чётность заданной подстановки: .
Решение:
Четность подстановки определяется числом инверсий в нижней ее строке (перестановке). Для подсчета числа инверсий перестановки воспользуемся таблицей, в которой:
- символом ☻ отмечается исследуемый элемент;
- символом ♦ отмечается элемент, по отношению к которому исследуемый элемент нарушает порядок: составляет инверсию.
Видим: общее число инверсий нижней перестановки равно 5. | |||||||
☻ | ♦ | ♦ | ♦ | =3 | |||
☻ | =0 | ||||||
☻ | ♦ | ♦ | =2 | ||||
☻ | =0 | ||||||
Число инверсий: | =5 | ||||||
Так как число 5 нечетное, то нижняя перестановка, значит и подстановка, нечетная.
☻
Кроме подсчета числа инверсий в перестановках для определения четности подстановок применяют также разложение их в циклы. Воспользуемся этим приемом (не обосновывая его, примем на веру!), рассмотрев конкретный пример.
☺☺
Пример 3 – 03: Определим чётность подстановки , используя разложение её в произведение циклов.
Решение:
Для иллюстрации правила формирования произвольных циклов покажем один из них, начинающийся с первого элемента верхней строки подстановки:
● | ● | ● | ● | ● | ● | ● | |||
● | ● | ● | ● | ● | ● | ● |
На этой схеме из последовательности выделен один цикл: (1 → 6 → 3 → 1). Запись цикла в разложении подстановки записывают в виде: (1,6,3), не повторяя второй раз элемент начала цикла.
Полное разложение подстановки в произведение циклов для рассматриваемого примера принимает вид: =
,
где остающиеся на месте элементы отмечены скобками: (4), (7), (8), (9).
Имея разложение подстановки в циклы, определим число декремент: d = n – s, где n – порядок подстановки, s – число циклов в разложении подстановки. В рассматриваемом примере: d = 9 – 6 = 3 – нечетное число → подстановка нечетная.
Ответ: подстановка четная.
Пример 3 – 04: Имеется запись подстановки в циклах: , найти запись этой подстановки в выражении с двумя перестановками.
Решение:
Используя правила построения циклов подстановки:
1) Запишем верхнюю строку подстановки: (1 2 3 4 5).
2) Отразим в нижней строке подстановки каждый из циклов:
▫ цикл: (1 3) → (1 → 3 → 1) → (3 ● 1 ● ●);
▫ цикл: (2 5) → (2 → 5 → 2) → (● 5 ● ● 2);
▫ цикл: (4) → (4 → 4) → (● ● ● 4 ●).
2) Подстановка принимает вид:
Ответ: .
☻
Наблюдения: 1) Как только записан один из членов определителя: ·
·…·
, можно записать однозначно определяемую им подстановку.
2) При выборе члена определителя однозначно определяется чётность подстановки → вопрос: А не зависит ли знак члена определителя от чётности подстановки?
Проверим гипотезу на примере определителя 3-го порядка, используя схему его вычисления в соответствии с определением:
=
+
+
–
–
–
,
Схема проверки гипотезы:
▫ для каждого члена определителя записываем соответствующую подстановку;
▫ вычисляем чётность подстановки;
▫ сопоставляем чётность-нечётность подстановки со знаками -
выделенного члена определителя.
A1: →
: число инверсий в подстановке =0 → подстановка чётная →
.
A2: →
: число инверсий в подстановке =2 → подстановка чётная →
.
A3: →
: число инверсий в подстановке =2 → подстановка чётная →
.
A4: →
: число инверсий в подстановке =3 → подстановка нечётная →
.
A5: →
: число инверсий в подстановке =1 → подстановка нечётная →
.
A6: →
: число инверсий в подстановке =1 → подстановка нечётная →
.
Выводы: 1) Знак члена определителя и чётность соответствующей ему подстановки взаимно однозначно соответствуют друг другу.
2) Членов определителя , столько же подстановок.
3) Среди членов определителя: отрицательных членов столько же, сколько положительных; среди подстановок нечётных столько же, сколько чётных.
§ 2. Определители n-го порядка .
То, как и какими средствами была решена задача определения знака члена определителя, должно вызывать изумление и восторг у всех, кто знакомится с этим решением! Восторг наблюдать и понимать одухотворенность интеллекта homo sapiens!
Соответствие знака члена определителя и чётности соответствующей ему подстановки распространяем на определители - го порядка!
Итак, в результате обобщений всех знаний из теории определителей 2-го и 3-го порядков получено стройное и строгое определение определителя - го порядка:
10: квадратная матрица: A = → определитель:
=| A |= d.
20: записываем сумму n! членов определителя со знаками, определяемыми подстановками: важно не пропустить ни одного члена определителя!..
Сочувствие: если вы хотите посчитать определитель 9-го порядка (всего-то!), вам нужно записать, строка за строкой, 9! = 362880 членов определителя, каждый из которых составлен из девяти сомножителей.
☺☺
Пример 3 – 05: Выяснить, входит или нет в определитель данное произведение: . Если указанное произведение входит в определитель, то с каким знаком?
Решение:
1) Для наглядности составим подстановку: . Видим, что в качестве множителей в произведении участвуют элементы определителя, взятые по одному из всех строк и столбцов. Вывод: заданное произведение входит в определитель.
2) Так как =
, то декремент:
– нечетное число → подстановка нечетная → знак минус.
Ответ: входит со знаком минус.
☻
Для решения проблемы вычисления определителя -го порядка необходимо установить свойства определителя
-го порядка, подобные тем, что мы получили для определителей 2-го и 3-го порядков. Основная цель: определить правила сведения вычисления определителя
-го порядка к вычислению определителя
–го порядка!
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы этого определителя поменять ролями, для матрицы это преобразование называется транспонированием:
=
→
=
. (4)
► Выделим в исходном определителе некоторый член этого определителя:
. (5)
Для определения знака выделенного члена определителя составим подстановку n -го порядка:
, (6)
в ней верхняя перестановка отражает номера строк определителя, в которых размещены элементы матрицы, входящие в выражение (5); а нижняя – номера столбцов.
После транспонирования матрицы A те же элементы будут участвовать в выражении члена определителя матрицы :
, (7)
причем для определения знака, который будет иметь этот член в определителе должна использоваться подстановка:
. (8)
Очевидно, четности подстановок (6) и (8) совпадают (используем определение четности подстановки).
Нами доказано одно из важнейших свойств определителя n -го порядка (теперь уже для всех n = 2, 3, …): Определитель не меняется при транспонировании матрицы: . Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов определителя. ◄
Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю:
=
=0. (9)
► Пусть в определителе строка с номером k вся состоит из 0. Это значит, что общий член определителя обязательно (не пропускается ни одна строка) будет содержать 0:
=0,
а это значит, что все члены определителя равны 0. ◄
Свойство 3. Если в определителе переставлены две строки (столбца), то все члены полученного определителя те же, что и в исходном определителе, но с обратным знаком, т.е. перестановка двух строк определителя меняет его знак.
► Следует из представленной ниже схемы преобразования определителя и соответствующих подстановок.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||||||
● | ● | ● | ● | |||||||||||
i | ● | ☺ | ● | ● | ● | ● | ● | ● | ● | ☻ | ● | ● | i | |
● | ● | ● | ● | |||||||||||
j | ● | ● | ● | ☻ | ● | ● | ● | ☺ | ● | ● | ● | ● | j | |
● | ● | ● | ● | |||||||||||
● | ● | ● | ● |
,
.
видим: четности соответствующих подстановок поменялись! ◄
Свойство 4. Определитель, имеющий две одинаковые строки, равен нулю.
► При перестановке этих строк из свойства 3 следует, что d = –d, т.е. d = 0. ◄
Свойство 5. Если все элементы строки - определителя умножить на произвольное число k, то определитель умножается на число k.
► Следует из записи общего члена определителя: каждый член определителя содержит ровно один элемент из строки - , поэтому всякий из них приобретает множитель k, то есть сам определитель умножается на k. ◄
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
► Следует из свойств 5 и 4. ◄
Свойство 7. Если все элементы строки - определителя имеют вид:
, где j = 1, 2, …, n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме строки -
, такие же, как в заданном определителе, а строки -
в одном из определителей состоит из элементов
, а в другом – из элементов
.
► Следует из определения общего члена определителя: выражение (6):
=
+
.
Свойство важное при доказательствах дальнейших свойств! ◄
Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация других его строк, то определитель равен нулю.
► Следует из последовательного применения свойств 7, 6, 5, 4). ◄
Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой, умноженной на одно и то же число.
► Следует из свойств 7 и 6. Обобщение: определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется линейная комбинация других его строк. ◄
Рассмотренные (и доказанные!) свойства определителя n -го порядка подготовили средства, необходимые для решения проблемы размерности: не выписывать его n! членов и не определять их знаки.
☻ Если не ставить требование наработки разнообразных навыков рационального вычисления определителей, то, используя определение и свойства определителей, своевременно задать вопрос: введённое понятие определителя обеспечивает решение системы линейных уравнений для произвольного числа неизвестных ?
Итак, перейдём от формальной конструкции определителя -го порядка и его формальных свойств к конкретным приложениям. Пусть имеем систему
линейных уравнений с неизвестными
,
:
где коэффициенты ,
;
; при неизвестных
; свободные члены
,
, хотя бы одно из которых не равно нулю, считаются заданными.
Системе уравнений соответствуют: матрица системы A (составлена из коэффициентов при неизвестных) и расширенная матрица (составлена из всех ее коэффициентов, включая свободные члены):
,
.
Используя свойства определителей -го порядка, преобразуем систему уравнений так, чтобы было выделено уравнение, в которое входит только одна неизвестная переменная
. Для этого умножим 1-е уравнение на алгебраическое дополнение
, 2-е на
,…,
-е на
. Учитывая разложение определителя по столбцу-
, получаем:
=
→
,
где: d = ,
=
.
Если , то получаем формулы Крамера:
– решение заданной системы уравнений.
Замечания: 1) показано решение системы уравнений только для частного случая системы: число уравнений равно числу неизвестных и хотя бы одно ,
не равно нулю;
2) для нас важным было показать, что определение определителя обеспечивает решение системы линейных уравнений, и мы в этом убедились;
3) для анализа и решения произвольных систем линейных уравнений потребуется ещё много дополнительных сведений, которые размещены в следующих главах.
Так как использование определителей не ограничивается их применением для решения систем линейных уравнений, то изучение дополнительных способов их эффективного вычисления целесообразно для дальнейших применений: при изучении линейных векторных пространств, алгебры матриц, линейных операторов, квадратичных форм и других.
При рассмотрении определителей 2-го и 3-го порядков введено понятие миноров 1-го порядка. Определитель -го порядка позволяет выделять миноры большего порядка: реализация принципа обобщений. Посмотрим, насколько это окажется продуктивным!
Пусть имеем определитель n -го порядка. Для целого числа выбираем в определителе k строк и k столбцов и зачёркиваем их. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором M k-го порядка определителя d. Элементы, оставшиеся не зачёркнутыми, располагаются в не зачёркнутых (n - k) строках и (n - k) столбцах, образуют минор M′ (n-k) -го порядка, который называют дополнительным минором для минора M. Наоборот, можно вычеркнуть (n-k) строк и (n - k) столбцов – останется минор k -го порядка. Ниже приведена схема выделения минора k -го порядка вычеркиванием k строк и k столбцов: